Sulla strada delle vacanze, percorrete un tratto autostradale alle 9 h 00. Ne uscite due ore più tardi, dopo aver percorso duecentoquaranta chilometri. Viene naturale affermare che avete viaggiato a 120 km/h, ma questo valore non è che una velocità media! Va da sé che non avete superato i limiti consentiti. La vostra velocità, tuttavia, non è stata certo costante. Del resto, a cosa corrispondono esattamente le velocità indicate sul cruscotto?
Per fissare le idee, occupiamoci della velocità indicata alle 10 h 00. Il calcolo di una velocità media, come si impara da piccoli, consiste nel dividere la distanza percorsa per il tempo. Questo procedimento non consente dunque di ottenere direttamente la velocità del veicolo esattamente alle 10 h 00. Si può invece calcolare la velocità media tra le 9 h 00 e le 10 h 00, poi tra le 9 h 30 e le 10 h 00, poi tra le 9 h 50 e le 10 h 00, poi tra le 9 h 59 e le 10 h 00… riducendo così sempre più l’intervallo di tempo considerato. Naturalmente, se l’intervallo di tempo diventa «sempre più piccolo», anche la distanza percorsa si riduce, ma qui ci interessa il rapporto tra queste due grandezze, ovvero, come scriveva Isaac Newton, «il quoziente ultimo di due incrementi evanescenti».
La velocità istantanea, così ottenuta, corrisponde in matematica alla nozione di derivata.
Verso una generalizzazione -----------------------
Il calcolo della velocità istantanea di un’automobile può essere generalizzato senza troppe difficoltà allo studio delle funzioni più comuni. Consideriamo una funzione f definita sull’insieme ? dei numeri reali e cerchiamo di calcolarne la derivata in x = 10.