Il nostro cervello funziona attraverso reti di cellule. Oggetti non definiti, i neuroni, sono interconnessi da inestricabili trame di sinapsi. Ogni neurone comunica con altri diecimila e ogni rete di neuroni e sinapsi corrisponde a un concetto. Una conseguenza di questa organizzazione è che i nostri modi di pensare sono sistematicamente lineari. Lo sono anche i modelli generati dai nostri cervelli. Di conseguenza, la matematica abbonda di rappresentazioni lineari (che corrispondono soprattutto al «grado 1» dell’algebra e al concetto di «retta» in geometria), sotto forma sia di sistemi di equazioni sia dell’algebra omonima, per non parlare dei modelli di adattamento statistico (che sono per lo più lineari). Ma sarebbe ingenuo immaginare che il lineare possa bastare a modellizzare la complessità delle situazioni che si vogliono descrivere. I matematici intendono senz’altro scoprire nuovi modi di pensare per sviluppare la matematica di domani. Il concetto di derivata è un primo passo per uscire dal lineare… pur restando localmente al suo interno. La derivata, infatti, può essere vista come un tasso di variazione nell’intorno di un punto. Così, considerando incrementi Δx «sufficientemente piccoli» affinché il rapporto studiato non «differisca troppo» dal valore della derivata, per una funzione f derivabile in x0 possiamo scrivere:
per x = x0 + Δ x, ossia un’espressione della forma a + b Δ x, con a e b costanti. Una funzione derivabile in un punto è dunque localmente lineare. Questo concetto è ampiamente usato nell’analisi non standard: gli incrementi Δx diventano infinitesimi, che popolano l’alone dei numeri infinitamente vicini a 0. Intuitivamente, una funzione derivabile osservata al microscopio è una retta. L’ingrandimento del microscopio corrisponde al concetto più classico di intorno.
Una passeggiata a testa o croce
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E se studiamo fenomeni temporali? Se consideriamo t0 come l’istante presente, il segno di Δt distinguerà il passato (Δt < 0) dal futuro (Δt > 0). Supponendo che un fenomeno sia derivabile, si assume in realtà che la derivata della sua funzione esista qualunque sia la successione di incrementi temporali Δt considerata. Ma è osservabile soltanto il passato! Possiamo dunque misurare f (t) solo per valori negativi di Δt. Tuttavia, sotto l’ipotesi di derivabilità, ciò basta per stimare il valore della derivata di f in t0. La conoscenza del passato basta a determinare f ’(t0 ), quella del presente permette di misurare f (t0 ). Passato e presente bastano dunque a fornire una descrizione locale dell’evoluzione futura del fenomeno:
