Naturalmente, gli infinitesimi non sono numeri reali. Insieme a questi ultimi, formano l’insieme dei numeri iperreali, nel cui ambito si sviluppa questa nuova presentazione dell’analisi, avviata dal canadese Abraham Robinson (vedi Tangente 149).
Vediamo, con un esempio elementare, come calcolare una derivata nell’analisi non standard (si tratta, in sostanza ma con un linguaggio moderno, del metodo usato da Fermat per cercare un massimo). Vogliamo calcolare la derivata della funzione definita da f(x) = *x 2. Siano x un numero reale arbitrario ed ε un infinitesimo. Consideriamo f(x + ε), ossia *x 2 + 2ε x +ε 2, un numero infinitamente vicino a *x 2: i due numeri sono «quasi uguali» (Fermat scriveva che tra essi vi è una «adeguaglianza»). La loro differenza è infinitesima. Si divide poi questa differenza per ε; il quoziente di questi due infinitesimi è uguale a 2 x + ε e quindi infinitamente vicino a 2 x. Per ottenere un’uguaglianza, si considera l’unico numero reale infinitamente vicino al quoziente in questione: è 2 x. Tecnicamente, si dice che si tratta della parte standard del quoziente.
Così, purché esista, la derivata di una funzione f in x è la parte standard di
dove ε indica un infinitesimo.
