I numeri sono alla base della matematica. I numeri naturali furono introdotti per risolvere problemi di conteggio, poi furono studiati altri numeri per affrontare problemi sempre più vari e profondi. Ora, il concetto apparentemente combinatorio e aritmetico di numero ammette un’interessante interpretazione geometrica grazie alla retta numerica.
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Estensioni dei numeri naturali
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I numeri naturali (1, 2, 3…) permettono di contare gli oggetti astraendo dalle loro proprietà particolari. Secondo una citazione del matematico Leopold Kronecker (1823-1891), «Dio ha creato gli interi, gli uomini hanno fatto il resto». Se si sommano o si moltiplicano tra loro due numeri naturali, il risultato è ancora un numero naturale. Ma le due operazioni fondamentali di addizione e moltiplicazione possono essere invertite soltanto a prezzo di severe restrizioni; per esempio, la sottrazione 1 – 2 o la divisione senza resto non hanno senso se ci si limita ai numeri naturali. L’introduzione, da una parte, dello zero e degli interi negativi e, dall’altra, dei numeri frazionari ha liberato la sottrazione e la divisione dai loro vincoli, con la riserva che la divisione per 0 resta priva di significato. I numeri razionali sono dunque i numeri interi o frazionari, positivi, nulli o negativi. Ciascuno di essi può scriversi nella forma a0,a1a2a3… , dove a0 indica un numero intero munito di segno, mentre a1, a2, a3… sono cifre decimali; la virgola separa quindi la parte intera da quella decimale. La rappresentazione decimale di ogni numero razionale è limitata, nel senso che comprende un numero finito di cifre decimali, oppure illimitata ma periodica. I numeri razionali obbediscono alle familiari regole dell’algebra (formano un campo commutativo totalmente ordinato).
Purtroppo, i numeri razionali non sono sufficienti a soddisfare tutte le esigenze dei matematici. Per questo sono stati introdotti i numeri irrazionali, che ammettono una rappresentazione decimale illimitata e non periodica. I numeri reali comprendono tutti i numeri razionali e irrazionali. Ciascuno di essi ammette dunque una rappresentazione decimale, limitata o illimitata, periodica o no. Molto usati nell’analisi classica, sono tanti quanti i punti di una retta e si trattano algebricamente come i razionali (formano anch’essi un campo totalmente ordinato, che include quello dei razionali, ma che questa volta è completo in un senso molto preciso).
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Iperreali e altri numeri non standard
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Non esiste alcun numero reale strettamente positivo inferiore a tutti gli altri numeri reali strettamente positivi (se esistesse un tale reale a, si avrebbe l’assurdità a < a / 2). Per risolvere problemi dell’analisi nei quali questa lacuna si fa sentire, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e i suoi successori sfruttarono numeri non reali detti infinitamente piccoli positivi: sono effettivamente strettamente positivi, ma più piccoli di ogni reale strettamente positivo; se ne può prendere l’opposto, ottenendo infinitamente piccoli negativi, oppure l’inverso, ottenendo numeri infinitamente grandi (ossia maggiori di qualunque reale). Si possono anche sommare a un reale qualsiasi x, così da formare numeri infinitamente vicini a x. L’esistenza di tutti questi nuovi numeri fu giustificata dal matematico canadese Abraham Robinson nel 20º secolo (vedi Tangente 149); infatti, negli anni Sessanta li costruì effettivamente ricorrendo a un ragionamento rigoroso ma piuttosto sofisticato, mediante il concetto matematico di ultrafiltro.
Questi numeri infinitamente piccoli, positivi o negativi, infinitamente grandi, positivi o negativi, e infinitamente vicini a un reale formano, insieme a tutti i reali, l’insieme dei numeri iperreali. Si trattano algebricamente secondo le stesse regole di calcolo dei reali (formano anch’essi un campo commutativo totalmente ordinato, che comprende quello dei reali) e sono alla base dell’analisi detta non standard. Un allievo di Robinson, Albert Harold Lightstone (1926–1976), stabilì che il numero 0,999…, con parte intera nulla e scritto con un numero infinitamente grande di cifre decimali tutte uguali a 9, è tale che la differenza 1 – 0,999… è un infinitamente piccolo positivo; questo risultato conferma la convinzione intuitiva, diffusa tra molti principianti di analisi, secondo cui 0,999… è «un pochino più piccolo» di 1.
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Dillo con le rette
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Consideriamo ora una retta determinata da due suoi punti X e X'. Può essere percorsa in due versi opposti. Si sceglie convenzionalmente quello da X' verso X, detto verso positivo; l’altro è ovviamente detto negativo. Il verso positivo è indicato da una freccia posta sulla retta stessa, che prende allora il nome di asse orientato. Si sceglie poi un’unità di lunghezza u per misurare i segmenti riportati sull’asse. La misura di ogni segmento \[AB\] è tuttavia munita del segno + o – secondo che \[AB\] sia percorso da A verso B nel verso positivo o negativo dell’asse; al segmento si assegna così una misura algebrica, .
In questo esempio, e
Si sceglie arbitrariamente un punto O sulla retta (X'X); sarà l’origine dell’asse. Gli si associa la misura 0. Si associa il numero 1 al punto situato all’estremità del segmento che parte dall’origine e ha misura algebrica uguale a 1, e il numero – 1 al suo simmetrico rispetto a O. Poi si assegna il numero 2 all’estremità del segmento che parte da O e ha misura algebrica 2 e, naturalmente, – 2 al suo simmetrico rispetto a O. Proseguendo così, tutti gli interi positivi e negativi sono rappresentati da punti equidistanti sull’asse orientato: i positivi da una parte dell’origine e i negativi dall’altra. Questi punti possono essere detti interi e identificati con i numeri interi muniti di segno.
Analogamente, si può dare un’interpretazione geometrica ai numeri frazionari di denominatore uguale al numero naturale n. Basta infatti dividere in n parti uguali ciascun segmento di lunghezza unitaria compreso tra due interi consecutivi: i punti di suddivisione costituiscono, insieme ai punti interi, l’insieme dei punti razionali. Ciascuno di essi è allora caratterizzato in modo univoco da un numero razionale.
Un numero razionale a è allora minore di un altro razionale b se e solo se il punto che rappresenta a si trova «a sinistra» del punto associato a b. L’ordine naturale dei numeri coincide dunque perfettamente con quello dei punti corrispondenti sull’asse orientato! Peraltro, i punti razionali sono densi sulla retta (X'X): ciò significa che ogni segmento dell’asse non ridotto a un punto, per quanto piccolo sia, contiene punti razionali.
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Buchi dappertutto
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Se è vero che a ogni numero razionale corrisponde uno e un solo punto razionale dell’asse, il contrario non è vero! In altre parole, i punti razionali non «riempiono» la retta in questione. Infatti, i geometri greci dell’antichità mostrarono che esistono punti P dell’asse per i quali la lunghezza del segmento \[OP\] è incommensurabile con l’unità di lunghezza u, nel senso che queste due grandezze non hanno una «misura comune». Numericamente, ciò si traduce nel fatto che la misura algebrica non è un numero razionale. È il caso, per esempio, del punto P, estremità della diagonale \[OP\] di un quadrato di lato uguale all’unità u e disposto come nella figura.
In base al teorema di Pitagora, OP2 = 2. Si può allora associare al punto P il numero √2, soluzione positiva dell’equazione x2 = 2. Questo numero non è razionale.
Più in generale, associando a ogni punto non razionale della retta (X'X) un unico numero, detto irrazionale, ogni punto dell’asse è caratterizzato da uno e un solo numero razionale o irrazionale. Questo numero sarà chiamato l’ascissa del punto in questione. Così, ogni punto dell’asse è caratterizzato da un’unica ascissa reale, ossia razionale o irrazionale. In tutto, vi sono esattamente tanti numeri reali quanti punti sulla retta. Inoltre, numeri e punti possono in qualche modo essere «identificati». L’asse (X'X) è naturalmente chiamato retta numerica reale.
Ma l’insieme dei numeri reali è incluso in quello dei numeri iperreali. È dunque abbastanza naturale cercare di rappresentare geometricamente questi ultimi a partire dalla retta numerica reale!
Anzitutto, gli iperreali non reali non sono direttamente localizzabili sull’asse (X'X), poiché i punti di questa retta corrispondono esattamente ai reali. Tuttavia, alcuni iperreali possono essere immaginati virtualmente usando una «lente infinitamente potente» puntata sull’origine della retta classica. Attraverso questo esperimento mentale si scoprono numeri invisibili a occhio nudo, e quindi non reali, ma infinitamente piccoli poiché infinitamente vicini a 0. Formano l’alone di 0. Nella figura seguente, l’alone di 0 è rappresentato simbolicamente da due specie di antenne poste sopra l’origine O della retta reale e contenenti gli infinitamente piccoli minori o maggiori di 0. Nella stessa figura si osserva anche ciò che si ottiene spostando la lente per centrarla su un reale qualsiasi r: compaiono allora numeri non reali infinitamente vicini a r, come i numeri r +
e r – , che formano l’alone di r.
Esistono inoltre iperreali infinitamente grandi, positivi o negativi. Non possono essere osservati a occhio nudo sulla retta numerica reale, ma li si può immaginare mediante un «binocolo infinitamente potente puntato il più lontano possibile» a destra o a sinistra. Procedendo così, possiamo rappresentarci mentalmente numeri rispettivamente infinitamente grandi positivi o infinitamente grandi negativi, come per esempio i numeri 1 / e – 1 / , dove è un infinitamente piccolo.
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In definitiva, l’uso di lenti o binocoli infinitamente potenti permette di rappresentarsi virtualmente i numeri iperreali associati ai punti di quella che potremmo chiamare una retta numerica iperreale. Essa è composta dai punti della retta numerica reale, ciascuno dei quali è accompagnato da un intero alone di punti infinitamente vicini, nonché da punti «infinitamente lontani» situati a destra o a sinistra.
