Un estremo locale ha ben poco significato: in genere conta soltanto l’estremo globale. Eppure alcuni autori si limitano ad annullare la derivata di una funzione di una variabile per ottenere, a loro dire, l’estremo globale cercato (ma ciò non basta a dimostrarlo).
Esistono tuttavia situazioni in cui la distinzione tra estremi locali e globali viene meno. Lo dimostra il seguente risultato, battezzato teorema della spensieratezza dal professor François Jongmans (Università di Liegi): se la funzione reale f , definita e continua sull’intervallo I, presenta all’interno di I un solo estremo locale, allora questo è un estremo globale stretto dello stesso tipo per f su I, mentre un estremo di tipo opposto può essere raggiunto, se esiste, soltanto in un estremo di I.
Prendiamo dunque la funzione cubica definita da f (x) = 3*x 2 – *x 3. Lo studio locale fornisce un massimo locale (di valore 4, raggiunto per x = 2) e un minimo locale (di valore 0 per x = 0). Lo studio globale, invece, dipende fortemente dall’intervallo I su cui si lavora! Il teorema della spensieratezza permette di affermare che il massimo globale di f su [1, 3] vale 4 ed è raggiunto nell’unico massimo locale appartenente a I, mentre il minimo vale 2 ed è raggiunto all’estremo inferiore 1 di I. Se però si amplia l’intervallo considerato, il massimo di f diventa presto superiore a 4…
Purtroppo, il teorema della spensieratezza non si estende alle funzioni di più variabili. Occorre allora ricorrere a proprietà legate alla convessità (o alla concavità) della funzione studiata per ritrovare, sotto certe ipotesi, un passaggio automatico dal problema locale a quello globale.
