Nella sua splendida autobiografia, il grande fisico del 20º secolo Richard Feynman racconta che, quando era studente, un giorno fece il seguente scherzo matematico. Qualcuno aveva chiesto se fosse possibile descrivere matematicamente la forma di un tracciatore di curve. «Certo!» rispose scherzosamente. Queste curve sono molto speciali. Sono fatte in modo tale che, nel loro punto più basso, comunque le si ruoti, la loro tangente sia orizzontale.» E gli altri studenti si estasiarono davanti a questa proprietà apparentemente unica…
Il matrimonio fra una curva e una retta
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Ciò che Feynman sapeva, ma che curiosamente gli altri studenti del Massachusetts Institute of Technology ignoravano, è che la tangente è orizzontale nel punto più basso di qualunque curva anche solo un po’ «liscia». Basta una definizione elementare della nozione di tangente in un punto di una curva per convincersene. Sia C una curva qualunque e «sufficientemente regolare» (nozione da definire con precisione a seconda del contesto), e sia A un punto di questa curva. La tangente a C in A è la retta che aderisce «meglio» alla forma della curva in prossimità del punto A. Se immaginiamo che C sia il tracciato di una strada percorsa da un’automobile, allora la direzione della tangente è quella che l’automobile seguirebbe se, nel punto A, una grossa lastra di ghiaccio la facesse improvvisamente slittare e non potesse più controllarne la direzione.
Per visualizzare la tangente, possiamo anche ingrandire sempre di più l’area attorno ad A. Se C è abbastanza regolare, ingrandendo «sempre di più» ci si accorge che, nelle immediate vicinanze di A, la curva coincide praticamente con una retta.
