Massimo, minimo, ottimo

La notion d'optimum évoque souvent celle de maximum ou de minimum d'une fonction qui, comme un fluide, évoluerait de manière continue, et même dérivable. L'arsenal de l'analyse et du calcul différentiel s'impose alors à l'esprit. Mais l'optimisation concerne aussi, souvent, des quantités ne pouvant prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Si l'éventail des techniques issues de l'analyse n'est alors plus d'aucun secours, les mathématiques discrètes et la théorie des graphes prennent le relais. C'est l'ordinateur, machine séquentielle la mieux adaptée aux environnements combinatoires, qui sera alors, le plus souvent, mis à contribution pour résoudre les problèmes d'optimum.

L'optimisation s'applique aussi à des contextes géométriques. La nature a été la première à la rechercher, que ce soit dans la forme des alvéoles des abeilles ou dans celle de certains reliefs façonnés par l'eau ou le vent. Les mathématiciens, eux aussi, s'y sont employés, utilisant aujourd'hui les outils du calcul différentiel qui ont supplanté les méthodes anciennes au point de rendre la géométrie méconnaissable. Les questions elles-mêmes se sont transformées sous l'effet de l'efficacité décuplée offerte par ces méthodes. Mais tout ne se réduit pas au calcul différentiel. Lorsque des aspects combinatoires s'y immiscent, les problèmes peuvent se révéler ardus, au point que certains énoncés apparemment simples, comme celui des triangles de Heilbronn, résistent encore à la sagacité des chercheurs.

Se è spesso possibile dimostrare in modo teorico l'esistenza di una soluzione ottimale a un dato problema, una forma esplicita e completa di questa soluzione è più difficile da ottenere al di fuori di alcuni casi di studio. Bisogna quindi accontentarsi di calcolarla, mediante algoritmi, una stima. Gli esempi sono numerosi, sia in un contesto «psicologico» (ottimizzazione del benessere collettivo grazie al modello di Pareto) che fisico. Così, quando la quantità da ottimizzare varia come un fluido, si può, con procedure ingegnose, raggiungere il prezioso minimo o massimo, a condizione di fare attenzione a non rimanere bloccati in una buca locale: è l'ottimo globale che viene ricercato!