Nel 1933, a Budapest, alcuni studenti di matematica, tra cui Paul Erdős e George Szekeres, erano soliti riunirsi. Un giorno Esther Klein propose il problema seguente: dati cinque punti del piano in posizione generale, dimostrare che quattro di essi possono formare un quadrilatero convesso, cioè un poligono le cui diagonali non escono dal poligono.
Questo bel risultato si dimostra con un po’ di riflessione e un’analisi caso per caso. Erdős lo soprannominò happy ending problem, poiché portò tra l’altro al matrimonio di George Szekeres ed Esther Klein (vedi Tangente 172, 2016)!
Il problema ebbe un seguito più matematico. Perché interessarsi soltanto ai quadrilateri? Ci si può infatti chiedere quanti punti occorra disporre nel piano in posizione generale per essere certi di trovarvi un poligono convesso con n lati. Il caso n = 5 fu risolto nel 1935: occorre un insieme di nove punti per essere certi di trovarvi un pentagono convesso.
In questa configurazione non si può formare alcun pentagono convesso.
Erdős e Szekeres dimostrarono già nel 1935 che questo minimo esiste per ogni intero n e che è inferiore a
Venticinque anni più tardi dimostrarono che questo minimo è maggiore di 2*n*-2 +1.
Nel 2005, Szekeres e la sua studentessa Lindsay Peters dimostrarono che occorre un insieme di diciassette punti per essere certi di trovarvi un esagono convesso. Al momento non è noto alcun altro risultato.
