All’inizio degli anni Trenta, in un parco di Budapest, si riuniva regolarmente un gruppo di giovani matematici. Molto prima del movimento «hacktivista», si faceva chiamare Anonymus, dal nome di una statua eretta in omaggio all’ignoto autore delle Gesta hungarorum, la prima cronaca della storia ungherese. Nel 1933, Eszter Klein annunciò agli amici del gruppo, fra cui Pál Erdős, Pál Turán e György Szekeres, il seguente risultato: fra cinque punti del piano, nessuna terna dei quali è allineata, se ne possono sempre trovare quattro che sono i vertici di un quadrilatero convesso. Szekeres fornì allora una dimostrazione di esistenza della seguente generalizzazione: dato un numero sufficientemente grande di punti del piano, se ne possono sempre trovare k che sono i vertici di un k-gono convesso (poligono di k lati).
La dimostrazione è semplice per k = 5: ragioniamo sull’inviluppo convesso di cinque punti. Se è un quadrilatero, il problema è risolto.
Se è un pentagono, basta eliminare un vertice qualsiasi perché gli altri quattro formino un quadrilatero convesso. Se l’inviluppo convesso è un triangolo ABC, due punti, D ed E, gli sono interni, come nella figura. Poiché non possono esservi tre punti allineati, un vertice del triangolo, A, si trova da un lato della retta (DE), mentre gli altri due, B e C, sono dall’altro lato. Il quadrilatero cercato è dunque BCED.
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