En 1933, en Budapest, algunos estudiantes de matemáticas, entre ellos Paul Erdős y George Szekeres, solían reunirse. Un día, Esther Klein planteó el siguiente problema: dados cinco puntos del plano en posición general, demostrar que cuatro de ellos forman un cuadrilátero convexo, es decir, un polígono cuyas diagonales no atraviesan el exterior.
Este bonito resultado se demuestra con algo de reflexión y un análisis caso por caso. Erdős lo apodó happy ending problem, pues condujo, entre otras cosas, al matrimonio de George Szekeres y Esther Klein (véase Tangente 172, 2016)!
El problema tuvo una prolongación más matemática. ¿Por qué interesarse solo por los cuadriláteros? En efecto, cabe preguntarse cuántos puntos hay que situar en el plano en posición general para tener la certeza de encontrar en ellos un polígono convexo de n lados. El caso n = 5 se resolvió en 1935: se necesitan nueve puntos para garantizar la existencia de un pentágono convexo.
En esta configuración no se puede formar ningún pentágono convexo.
Erdős y Szekeres demostraron ya en 1935 que este mínimo existe para todo número entero n y que es menor que
Demostraron veinticinco años más tarde que este mínimo es superior a 2*n*-2 +1.
En 2005, Szekeres y su alumna Lindsay Peters demostraron que se necesitan diecisiete puntos para garantizar la existencia de un hexágono convexo. Actualmente no se conoce ningún otro resultado.
