Maximum, minimum, optimum

La noción de óptimo evoca a menudo la de máximo o mínimo de una función que, como un fluido, evolucionaría de manera continua, e incluso derivable. El arsenal del análisis y del cálculo diferencial se impone entonces al espíritu. Pero la optimización concierne también, a menudo, a cantidades que no pueden tomar más que un número finito o contable de valores. Si el repertorio de técnicas derivadas del análisis ya no es entonces de ninguna utilidad, las matemáticas discretas y la teoría de grafos toman el relevo. Es el ordenador, máquina secuencial mejor adaptada a los entornos combinatorios, el que será entonces, la mayoría de las veces, puesto a contribución para resolver los problemas de óptimo.

En geometría, la optimización también se aplica a contextos geométricos. La naturaleza fue la primera en buscarla, ya sea en la forma de las celdillas de las abejas o en la de ciertos relieves modelados por el agua o el viento. Los matemáticos, ellos también, se han empleado en ella, utilizando hoy en día las herramientas del cálculo diferencial que han supplantado los métodos antiguos hasta el punto de volver irreconocible la geometría. Las cuestiones mismas se han transformado bajo el efecto de la eficacia multiplicada ofrecida por estos métodos. Pero no todo se reduce al cálculo diferencial. Cuando aspectos combinatorios se inmiscuyen en él, los problemas pueden revelarse difíciles, hasta el punto de que ciertos enunciados aparentemente simples, como el de los triángulos de Heilbronn, resisten aún la sagacidad de los investigadores.

Si frecuentemente es posible probar teóricamente la existencia de una solución óptima para un problema dado, una forma explícita y completa de esta solución es más difícil de obtener fuera de algunos casos triviales. Por lo tanto, hay que conformarse con calcular una estimación de la misma, mediante algoritmos. Los ejemplos son numerosos, tanto en un contexto « psicológico » (optimización del bienestar colectivo gracias al modelo de Pareto) como físico. Así, cuando la cantidad a optimizar varía como un fluido, se puede, con ingeniosos procedimientos, alcanzar el precioso mínimo o máximo, con la condición de tener cuidado de no quedar atrapado en un mínimo o máximo local : ¡es el óptimo global el que se busca!