La complejidad de problemas reales presentes en la economía, la biología, la física, las finanzas e incluso las matemáticas hace que los métodos deterministas resulten a veces insuficientes. Recurrir entonces a métodos numéricos aleatorios que emplean la informática resulta increíblemente útil. Entre ellos se encuentra el llamado método de Montecarlo, desarrollado poco antes de 1950 por el físico Nicholas Constantine Metropolis. En matemáticas, resulta eficaz en particular para calcular integrales multidimensionales sobre dominios muy amplios y, en la práctica, proporciona resultados numéricos más precisos que los métodos deterministas clásicos. Veamos en qué consiste su principio en un caso elemental.
Reproducir artificialmente el azar -------------------------------------
Para calcular la integral I=∫01f(x)dx\text{I}=\int _0^1 f(x)dx, consideraremos el número real x (que varía entre 0 y 1) como una variable aleatoria y construiremos una sucesión de valores x1, x2… xn independientes y distribuidos uniformemente en el intervalo [0, 1). La integral definida I se estima entonces mediante la relación siguiente (en la que se reconoce la noción de media):
I−1n∑i=1nf(xi).\text{I}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i).
La ley débil de los grandes números (o el teorema central del límite) da una idea bastante precisa de la velocidad de convergencia del método, que es del orden de 1/n1/\sqrt{n} y proporcional a la desviación típica de la variable aleatoria f (x) inducida por la hipótesis de cálculo. En un caso sencillo como el cálculo de I, esta velocidad de convergencia puede parecer baja. Pero ofrece una doble ventaja. Por una parte, es insensible a la dimensión de la integral. Por otra, no depende de la regularidad de la función que se ha de integrar, siempre que esta sea de cuadrado integrable (hipótesis necesaria para que exista la varianza de f (x))).