La complexité de problèmes réels rencontrés en économie, en biologie, en physique, en finance, voire en mathématiques, fait que les méthodes déterministes s’avèrent parfois insuffisantes. Le recours à des méthodes aléatoires numériques utilisant l’informatique se révèle alors d’un secours incroyablement utile. Parmi celles-ci, on retrouve la méthode dite de Monte-Carlo, qui fut mise au point peu avant 1950 par le physicien Nicholas Constantine Metropolis. Elle se montre efficace en mathématiques notamment pour le calcul d’intégrales à dimensions multiples, portant sur de très larges domaines, et fournit en pratique des résultats numériques plus précis que les méthodes classiques déterministes. Voyons en quoi consiste son principe dans un cas élémentaire.
Reproduire artificiellement le hasard -------------------------------------
Pour calculer l’intégrale I=∫01f(x)dx\text{I}=\int _0^1 f(x)dx , on va considérer le réel x (qui varie entre 0 et 1) comme une variable aléatoire pour laquelle il convient de construire une suite de valeurs x1, x2… xn indépendantes, distribuées uniformément sur l’intervalle [0, 1[. On estime alors l’intégrale définie I par la relation suivante (dans laquelle on reconnaît la notion de moyenne) :
I−1n∑i=1nf(xi).\text{I}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i).
Les lois faibles des grands nombres (ou le théorème central limite) donnent une idée assez précise de la vitesse de convergence de la méthode, qui est de l’ordre de 1/n1/\sqrt{n} et qui est proportionnelle à l’écart type de la variable aléatoire f (x) induite par l’hypothèse de calcul. Dans un cas simple comme celui du calcul de I, cette vitesse de convergence peut paraître faible. Mais elle offre un double avantage. D’une part elle est insensible à la dimension de l’intégrale. D’autre part, elle ne dépend pas de la régularité de la fonction à intégrer, dès que celle-ci est de carré intégrable (hypothèse nécessaire à l’existence de la variance de f (x)).