Maximum, minimum, optimum

La notion d'optimum évoque souvent celle de maximum ou de minimum d'une fonction qui, comme un fluide, évoluerait de manière continue, et même dérivable. L'arsenal de l'analyse et du calcul différentiel s'impose alors à l'esprit. Mais l'optimisation concerne aussi, souvent, des quantités ne pouvant prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Si l'éventail des techniques issues de l'analyse n'est alors plus d'aucun secours, les mathématiques discrètes et la théorie des graphes prennent le relais. C'est l'ordinateur, machine séquentielle la mieux adaptée aux environnements combinatoires, qui sera alors, le plus souvent, mis à contribution pour résoudre les problèmes d'optimum.

L'optimisation s'applique aussi à des contextes géométriques. La nature a été la première à la rechercher, que ce soit dans la forme des alvéoles des abeilles ou dans celle de certains reliefs façonnés par l'eau ou le vent. Les mathématiciens, eux aussi, s'y sont employés, utilisant aujourd'hui les outils du calcul différentiel qui ont supplanté les méthodes anciennes au point de rendre la géométrie méconnaissable. Les questions elles-mêmes se sont transformées sous l'effet de l'efficacité décuplée offerte par ces méthodes. Mais tout ne se réduit pas au calcul différentiel. Lorsque des aspects combinatoires s'y immiscent, les problèmes peuvent se révéler ardus, au point que certains énoncés apparemment simples, comme celui des triangles de Heilbronn, résistent encore à la sagacité des chercheurs.

S'il est souvent possible de démontrer de façon théorique l'existence d'une solution optimale à un problème donné, une forme explicite et complète de cette solution est plus difficile à obtenir en dehors de quelques cas d'école. Il faut donc se contenter d'en calculer, à l'aide d'algorithmes, une estimation. Les exemples en sont nombreux, tant dans un contexte « psychologique » (optimisation du bien-être collectif grâce au modèle de Pareto) que physique. Ainsi, quand la quantité à optimiser varie comme un fluide, on peut, avec d'ingénieuses procédures, atteindre le précieux minimum ou maximum, à condition de prendre garde à ne pas rester coincé dans une poche locale : c'est l'optimum global qui est recherché !