fonction ALEA

Dans une feuille de calcul, saisissez ALEA() dans une cellule : un nombre compris entre 0 inclus et 1 exclu apparaît. Après une modification de la feuille, la cellule affiche généralement une autre valeur. C'est comme un tirage renouvelé, mais effectué par un algorithme.

Dans le modèle uniforme utilisé pour la simulation, toutes les zones de même largeur dans [0, 1[ ont la même chance d'accueillir le résultat. Les valeurs effectivement calculées approchent cette répartition. En découpant cet intervalle en six parts, on peut donc simuler les six faces d'un dé.

La fonction ALEA() renvoie un nombre pseudo-aléatoire, noté ici u, dans l'intervalle [0, 1[. La borne 0 est admise, tandis que la borne 1 est exclue. On modélise sa distribution par la loi uniforme continue : deux sous-intervalles de même longueur ont alors la même probabilité de contenir u. En pratique, l'ordinateur produit un nombre parmi un ensemble fini de valeurs, dont la répartition approche ce modèle. Un nouvel appel, notamment lors d'un recalcul de la feuille, fournit un nouveau tirage.

Une multiplication adapte la plage. Pour une borne positive a, le produit $aua\; u$ appartient à [0, a[ et, dans le modèle uniforme continu, y reste uniformément distribué ; en pratique, sa répartition finie approche cette propriété. Pour obtenir un entier parmi 1, 2, …, n, où n est un entier strictement positif, on découpe [0, 1[ en n intervalles égaux, puis on applique $\mathrm{ENT}(nu)+1\backslash operatorname\{ENT\}(n\; u)+1$. La fonction ENT prend la partie entière inférieure.

Le qualificatif « pseudo-aléatoire » est essentiel : l'algorithme est déterministe et chaque valeur calculée appartient à un ensemble fini ; c'est la répartition statistique des tirages qui approche le modèle uniforme continu. ALEA() convient ainsi aux simulations, aux probabilités appliquées et aux expériences pédagogiques.

Le dispositif réunit cinq éléments. L'appel ALEA() demande un tirage. Le générateur pseudo-aléatoire, fondé sur un algorithme déterministe, produit une valeur. La sortie est un réel u de [0, 1[. La règle de transformation change la plage ou convertit le réel en entier. Le recalcul déclenche un nouvel appel dans la feuille.

La sortie dépend du générateur, puis le résultat final dépend à la fois de cette sortie et de la transformation choisie. Par exemple, le découpage en six intervalles doit précéder l'attribution des faces du dé. La présentation de la cellule ne définit pas le tirage : c'est l'association entre générateur, intervalle et transformation qui suffit à construire la simulation.

On veut simuler un dé équilibré à six faces. Les données sont : six issues numérotées de 1 à 6, un intervalle [0, 1[ partagé en six parts égales et, pour ce tirage, la valeur u = 0,42 fournie par ALEA().

1. Multiplier le tirage par le nombre de faces : $6\times \mathrm{0,42}=\mathrm{2,52}6\; \backslash times\; 0\{,\}42\; =\; 2\{,\}52$.

2. Prendre la partie entière inférieure : ENT(2,52) = 2.

3. Ajouter 1 : 2 + 1 = 3. La simulation donne donc la face 3.

Le contrôle consiste à retrouver l'intervalle associé à la face 3 : il va de 2/6 inclus à 3/6 exclu, soit de 1/3 inclus à 1/2 exclu. Comme 0,42 appartient à cet intervalle, le résultat 3 est cohérent. La figure matérialise ce découpage et la position exacte du tirage.

Dans un cours de probabilités, plusieurs cellules contenant ALEA() donnent une série de tirages. Leur répartition sert à observer expérimentalement la loi uniforme. Si l'on veut seulement une valeur fixée, on emploie une donnée constante plutôt qu'un tirage recalculé.

Pour simuler une grandeur réelle dans [0, 3[, on utilise ALEA() × 3 : 0 est inclus et 3 est exclu. Pour choisir une catégorie entière parmi six, on préfère ENT(ALEA() × 6) + 1 : le critère est la nature réelle ou entière du résultat attendu.

Dans une simulation répétée, une ligne peut représenter un essai et chaque recalcul renouveler l'ensemble. Il faut conserver les valeurs obtenues si l'analyse exige que les tirages déjà observés ne changent plus.

Nombre pseudo-aléatoire et hasard physique. ALEA() calcule sa sortie au moyen d'un algorithme déterministe ; elle ne mesure pas un phénomène physique imprévisible. Le critère est l'origine du tirage : calcul algorithmique dans le premier cas, observation physique dans le second.

Fonction ALEA et variable aléatoire. ALEA() est un outil informatique qui produit des valeurs lors des appels. Une variable aléatoire est un objet mathématique auquel une loi de probabilité est associée. Une cellule recalculée relève de l'outil ; la loi utilisée pour modéliser ses résultats relève de l'objet mathématique.

La borne droite reste exclue. ALEA() peut produire 0, mais pas 1. Ainsi, ALEA() × 3 reste strictement inférieur à 3. Si un résultat affiche 3 après un arrondi, il ne faut pas en déduire que 3 appartenait au tirage initial.

La transformation entière exige un nombre de classes valide. Dans ENT(ALEA() × n) + 1, le nombre n doit être un entier strictement positif. Pour n = 6, les seules sorties sont 1 à 6 ; avec une valeur nulle ou non entière, cette interprétation en faces équiprobables ne convient plus.

Le recalcul peut effacer le tirage observé. Une modification de la feuille peut changer toutes les cellules fondées sur ALEA(). Si un résultat doit servir de trace, il faut conserver la valeur obtenue avant de poursuivre les modifications.

Pseudo-aléatoire ne signifie pas véritablement aléatoire. Une apparence irrégulière ne change pas la nature déterministe du générateur. Pour interpréter une simulation, on s'appuie sur les propriétés statistiques recherchées, sans présenter chaque valeur comme issue d'un hasard physique.

Variable aléatoire — Pour relier les valeurs produites par une simulation à l'objet mathématique qui leur associe une loi de probabilité.

Loi uniforme discrète — Pour étudier le modèle obtenu quand les six résultats entiers du dé ont la même probabilité.