Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
Loi uniforme continue
La loi uniforme continue sur un intervalle [a, b] est la loi de probabilité dont la densité est constante sur cet intervalle : deux intervalles de même longueur y ont la même probabilité. Sa densité de probabilité est la fonction constante égale à 1/(b-a) sur [a, b] et nulle ailleurs. Son espérance est (a+b)/2 et sa variance est (b-a)^2/12. Parmi les lois continues dont les valeurs sont contraintes au même intervalle fixé [a, b], c'est celle d'entropie maximale. Elle est fondamentale dans la simulation de variables aléatoires et dans la construction de méthodes de Monte-Carlo.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la densité constante comme une probabilité proportionnelle à la longueur.
- Calculer la probabilité d’un sous-intervalle par un rapport de longueurs.
- Calculer l’espérance et la variance sur l’exemple [2, 8].
- Distinguer la loi uniforme continue de la loi uniforme discrète et de la loi normale.
- Identifier le cas dégénéré et la condition exacte de l’entropie maximale.
En clair
Imaginez qu’un temps d’attente puisse prendre n’importe quelle valeur entre 2 et 8 minutes, sans zone favorisée. Un intervalle de deux minutes a alors deux fois plus de chances de contenir le résultat qu’un intervalle d’une minute.
C’est l’idée d’une loi uniforme continue : la probabilité se répartit régulièrement sur tout l’intervalle. Une valeur isolée n’a toutefois aucune probabilité positive ; ce sont les longueurs d’intervalles qui comptent.
Définition
Une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme continue sur l’intervalle [a, b], avec a strictement inférieur à b, lorsque sa densité est constante sur cet intervalle et nulle ailleurs. On note cette propriété . La densité, notée f, vaut :
Pour deux nombres c et d compris entre a et b, avec c inférieur ou égal à d, la probabilité que X appartienne à [c, d] est le rapport (d − c)/(b − a). Elle dépend donc uniquement de la longueur du sous-intervalle. L’espérance, qui situe la moyenne théorique, vaut (a + b)/2. La variance, qui mesure la dispersion quadratique autour de cette moyenne, vaut (b − a)2/12. Inclure ou exclure une extrémité ne change aucune de ces probabilités, car un point isolé a une probabilité nulle.
Le principe
Soient deux bornes réelles a et b telles que a < b. Si X suit la loi uniforme continue sur [a, b], alors, pour tout sous-intervalle [c, d] inclus dans [a, b], sa probabilité est :
Le numérateur est la longueur de la zone retenue et le dénominateur celle de l’intervalle total. En particulier, l’espérance est et la variance est .
Quand l'utiliser
Le modèle s’applique à une grandeur continue dont toutes les zones de même longueur, à l’intérieur de deux bornes finies fixées, doivent avoir la même probabilité. Il faut connaître les bornes a et b, vérifier que a < b et supposer qu’aucune partie de [a, b] n’est favorisée. Ces données déterminent entièrement la densité, l’espérance et la variance.
Si certaines durées sont plus fréquentes que d’autres, une densité constante est inadéquate : il faut employer une loi dont la densité reproduit cette variation. Si seules des valeurs séparées sont possibles, par exemple les faces d’un dé, il faut une loi discrète plutôt qu’une loi uniforme continue.
Un exemple, pas à pas
Un temps d’attente X est modélisé uniformément entre 2 et 8 minutes. Les données sont les bornes a = 2 et b = 8, ainsi que le sous-intervalle allant de c = 3 à d = 5 minutes.
1. La longueur totale vaut 8 − 2 = 6 minutes. La densité sur [2, 8] vaut donc 1/6 par minute.
2. La zone d’attente recherchée mesure 5 − 3 = 2 minutes.
3. La probabilité d’attendre entre 3 et 5 minutes vaut .
4. L’espérance vaut (2 + 8)/2 = 5 minutes. La variance vaut (8 − 2)2/12 = 36/12 = 3 minutes carrées.
La représentation de la densité rend visible le contrôle : la zone [3, 5] occupe deux des six unités de largeur sous un rectangle de hauteur constante. Son aire est donc bien 1/3.
Un second contrôle utilise le complément : les zones [2, 3] et [5, 8] ont ensemble une longueur de 4 minutes, donc une probabilité de 4/6 = 2/3 ; les deux probabilités totalisent 1.
En pratique
En simulation, un générateur fournit souvent un nombre uniforme U entre 0 et 1. La transformation a + (b − a)U produit alors une valeur uniforme entre a et b ; elle sert de brique de base à de nombreuses méthodes de Monte-Carlo.
Pour modéliser une incertitude seulement bornée, la loi uniforme traduit l’absence assumée de zone privilégiée. Si des observations montrent un centre plus fréquent ou une dissymétrie, une autre densité doit remplacer ce choix.
Pour calculer une probabilité, on mesure la longueur de l’intervalle favorable et on la divise par la longueur totale. Ce geste géométrique évite d’additionner des probabilités point par point, ce qui n’a pas de sens dans un modèle continu.
À ne pas confondre
Loi uniforme discrète. Elle attribue la même probabilité positive à chacun d’un nombre fini de résultats. Pour un dé équilibré, la valeur 3 a une probabilité de 1/6 ; sous une loi uniforme continue, toute valeur isolée a une probabilité nulle.
Loi normale. Sa densité n’est pas constante : elle favorise les valeurs proches de sa moyenne et s’étend sans borne finie. Un histogramme nettement plus haut au centre qu’aux extrémités constitue donc un indice statistique contre l’hypothèse uniforme, dont la significativité dépend notamment de la taille de l’échantillon.
Valeurs équiprobables. Dans le cas continu, cette expression ne signifie pas que chaque point reçoit une probabilité positive identique. Elle signifie que deux intervalles de même longueur, placés dans [a, b], ont la même probabilité.
Limites et pièges
Intervalle dégénéré. Si a = b, la quantité 1/(b − a) n’est pas définie. On n’obtient pas une loi uniforme continue ; la variable constante en a relève d’une loi concentrée en un point.
Extrémités. Remplacer [a, b] par ]a, b[, [a, b[ ou ]a, b] ne change pas la loi, puisque les points a et b ont chacun une probabilité nulle. Il ne faut pas interpréter cette nullité comme une impossibilité logique d’obtenir une valeur donnée.
Densité et probabilité. La hauteur 1/(b − a) peut dépasser 1 lorsque l’intervalle mesure moins d’une unité. Ce n’est pas une probabilité ponctuelle : seule l’aire sous la densité sur un intervalle est une probabilité, toujours comprise entre 0 et 1.
Entropie maximale. L’affirmation exige de fixer l’intervalle autorisé : parmi les densités dont le support est contenu dans un même [a, b], la densité uniforme maximise l’entropie différentielle. Autoriser n’importe quel support borné, sans bornes communes, retire cette conclusion globale.
Pour aller plus loin
La densité de probabilité relie l’aire sous une courbe aux probabilités d’intervalles.
L’espérance mathématique situe le centre théorique d’une variable aléatoire et éclaire ici le milieu (a + b)/2.
La méthode de Monte-Carlo montre comment des tirages uniformes alimentent des estimations numériques par simulation.
L’Entropie approfondit la mesure d’incertitude dont la loi uniforme fournit un cas maximal sous support fixé.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres