test du poker

Imaginez que vous regroupiez une longue suite de nombres tirés au hasard par petits paquets de cinq. Dans chaque paquet, vous classez précisément le motif de répétition : sans répétition, une paire (une valeur présente exactement deux fois), deux paires, un brelan (exactement trois fois), un carré (exactement quatre fois) ou cinq valeurs identiques. Le test du poker compare ensuite le nombre de chaque motif avec ce que prévoiraient des tirages indépendants et uniformes.

L'image des mains de poker vient de cette manière de compter les répétitions. Si les fréquences observées s'éloignent nettement des fréquences théoriques, le générateur de nombres pseudo-aléatoires mérite une vérification.

Le test du poker est un test statistique d'adéquation. Il répartit une suite de nombres en ensembles de même taille, puis classe chaque ensemble selon le profil exact de multiplicité de ses valeurs. Pour des groupes de cinq tirages, les classes retenues sont : sans répétition (1+1+1+1+1), une paire (2+1+1+1), deux paires (2+2+1), un brelan (3+1+1), un carré (4+1) ou cinq valeurs identiques (5), par analogie avec les mains de poker.

Pour chaque classe, la fréquence observée est comparée à la fréquence théorique attendue sous l'hypothèse de tirages indépendants et uniformes, avec une taille de groupe et un ensemble de valeurs possibles fixés. La fréquence observée d'une classe est son nombre d'apparitions divisé par le nombre total d'ensembles. Le calcul combinatoire fournit la référence dans ce modèle.

Le test s'applique donc à un générateur de nombres pseudo-aléatoires, et non à une partie de poker réelle. Son verdict dépend du modèle choisi, du nombre de groupes examinés et de la règle statistique utilisée pour juger l'écart. Un résultat compatible avec la référence ne prouve pas que la suite est parfaitement aléatoire ; il indique seulement qu'aucun écart détectable par ce test n'est mis en évidence.

Considérons un exemple fictif : une suite est découpée en 20 groupes de cinq tirages, et chaque groupe est classé selon son profil exact de répétition. Les données observées sont les suivantes : 8 groupes avec une paire, 5 sans répétition, 4 avec deux paires, 2 avec un brelan, 1 avec un carré et 0 avec cinq valeurs identiques.

La fréquence observée des groupes avec une paire vaut $\frac{8}{20}=\mathrm{0,4}\backslash frac\{8\}\{20\}=0\{,\}4$, soit 40 %. La fréquence des groupes sans répétition vaut $\frac{5}{20}=\mathrm{0,25}\backslash frac\{5\}\{20\}=0\{,\}25$, soit 25 %.

Pour appliquer le test, on calcule d'abord les fréquences des six classes : 8/20, 5/20, 4/20, 2/20, 1/20 et 0/20. On obtient respectivement 40 %, 25 %, 20 %, 10 %, 5 % et 0 %. On compare ensuite chacune de ces valeurs à la fréquence théorique de la même classe, calculée pour le modèle retenu.

Le contrôle est refaisable : la somme des effectifs vaut $8+5+4+2+1+0=208+5+4+2+1+0=20$, et la somme des fréquences vaut 100 %. Ces deux égalités vérifient que chaque groupe a reçu une classe unique. Elles ne suffisent pas à conclure sur le générateur sans la comparaison avec les fréquences théoriques.

Pour évaluer un générateur de nombres pseudo-aléatoires, on produit une suite assez longue, on la découpe en groupes de même taille, puis on classe chaque groupe selon ses répétitions. Le test compare les comptes obtenus à la référence combinatoire du modèle choisi.

Le geste est adapté lorsque l'on veut examiner la répartition conjointe de plusieurs tirages. Pour une anomalie portant sur une autre propriété, comme une dépendance entre positions successives, un autre test statistique est préférable, car le test du poker ne décrit que les motifs retenus dans chaque groupe.

Le test du poker ne se confond pas avec une preuve d'aléa. Le critère qui les sépare est la portée du contrôle : le test vérifie des fréquences de motifs choisis, tandis qu'une suite peut respecter ces fréquences tout en présentant une autre régularité. Une suite qui passe ce test n'est donc pas déclarée parfaite ; elle est seulement compatible avec la référence examinée.

Il ne se confond pas non plus avec le calcul d'une main de poker réelle. Dans le test, les catégories de paire, de brelan ou de carré servent à classer des groupes et à comparer leurs fréquences. Le cas qui tranche est une suite de nombres pseudo-aléatoires : son générateur est l'objet évalué, et non la stratégie d'un joueur.

Un premier piège consiste à comparer des groupes de tailles différentes ou construits avec des valeurs possibles différentes. Les fréquences théoriques changent alors avec le modèle. Le symptôme est une référence combinatoire qui ne correspond pas aux données ; il faut fixer la taille des groupes et l'ensemble des valeurs avant de recalculer cette référence.

Un petit nombre de groupes rend les fréquences très instables. Dans l'exemple de 20 groupes, un seul groupe représente $\frac{1}{20}=\mathrm{0,05}\backslash frac\{1\}\{20\}=0\{,\}05$, soit 5 points de pourcentage. Une différence de cette taille ne doit pas être interprétée comme une anomalie certaine sans la règle statistique de décision et un volume de données adapté.

Enfin, l'absence d'écart visible ne garantit pas l'indépendance de la suite. Le test porte sur les motifs observés à l'intérieur des groupes ; il peut manquer une régularité qui relie des groupes distincts. Il faut alors compléter l'examen par un test conçu pour cette propriété précise.

Le prolongement naturel consiste à étudier comment le calcul combinatoire établit les fréquences théoriques des catégories. Il faut alors préciser le nombre de tirages par groupe, le nombre de valeurs possibles et la manière dont les répétitions sont classées. Cette étape explique pourquoi une même suite peut recevoir des références différentes selon le modèle retenu.

On peut ensuite comparer plusieurs générateurs avec le même découpage et la même règle de décision. La comparaison devient interprétable seulement si les groupes, les catégories et le volume de données restent identiques ; sinon, l'écart peut venir de la méthode plutôt que du générateur.