Ecco una situazione matematica molto comune: sia f una funzione continua e monotona (cioè crescente o decrescente) definita tra due numeri reali a e b, tale che f (a) e f (b) abbiano segno opposto. Poiché f è continua, interseca necessariamente l’asse delle ascisse (per il teorema dei valori intermedi). Inoltre, essendo monotona (qui crescente), l’equazione f (x) = 0 ha una sola soluzione. La si chiama radice dell’equazione e la si indica con α.
In alcuni casi, per esempio se f (x) è un trinomio, cioè un polinomio di secondo grado, esistono formule, ben note agli studenti delle scuole superiori, che forniscono il valore di α. In generale, però, per un’espressione qualsiasi f (x), non esiste un metodo esatto per trovare tale valore. Esistono invece metodi iterativi per ottenere un valore approssimato di α. Vediamo i più noti.
Dividendo l’intervallo
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Il primo metodo si chiama metodo di bisezione. Dietro questo termine un po’ dotto si nasconde l’idea, molto semplice, di dividere l’intervallo [a, b] in due parti della stessa lunghezza e di osservare in quale si trovi la radice α. Questo nuovo intervallo avrà lunghezza pari alla metà dell’intervallo iniziale e conterrà α. Ripetendo abbastanza volte il procedimento, si otterrà un valore approssimato di α con la precisione desiderata, poiché a ogni passaggio la lunghezza dell’intervallo viene divisa per 2. In realtà si otterranno due valori approssimati, uno per difetto (minore) e uno per eccesso (maggiore).
