L’algoritmo di Erone

L’estrazione di radici non è certo una passeggiata quando la pratica un dentista, ma in matematica è un’operazione molto più semplice di quanto sembri. Se si vuole, per esempio, calcolare a mano la radice quadrata di 31, si può procedere per tentativi: poiché 31 è compreso tra 5² = 25 e 6² = 36, se ne deduce che $\sqrt{31}\backslash sqrt\{31\}$ è compreso tra 5 e 6. Si prosegue poi nello stesso modo per cercare di determinare la prima cifra decimale (31 è compreso tra 5,5² e 6², poi tra 5,5² e 5,75², e così via), la seconda e così via. I calcoli, numerosi, diventano via via più laboriosi, ma in pochi passaggi si può ottenere una cifra decimale in più.

Un altro metodo permette di ottenere un risultato migliore con molti meno calcoli.

Erone ha molto da offrire --------------------------

Di Erone di Alessandria si sa piuttosto poco, se non che visse nel 1^º secolo della nostra era e forse anche un poco all’inizio del 2^º. Originario di Alessandria, avrebbe vissuto soprattutto nell’Egitto romano (vedi il nostro dossier « La formule de Héron » in Tangente 180, 2018). All’epoca sembra fosse noto per la progettazione di macchine destinate a suscitare meraviglia, azionando meccanismi a orologeria o dispositivi per l’apertura automatica delle porte dei templi. Queste ingegnose costruzioni, che furono perfezionate soltanto molti secoli dopo la sua morte, si basavano su meccanismi di compressione dell’aria o dell’acqua e sono descritte nel suo Trattato di pneumatica. Poiché i suoi scritti furono tradotti in latino, poi in arabo, e sottoposti a vari commenti e integrazioni prima di essere riscoperti alla fine del 19^º secolo, è difficile ricostruire l’esatta paternità di alcuni elementi.

Tuttavia, come ogni buon geometra greco che si rispetti, Erone di Alessandria fu anche autore di trattati di fisica e matematica, in particolare delle Metriche. È qui che espone e dimostra il suo celebre risultato sull’area dei triangoli, oggi riassunto in una semplice formula. L’area di un triangolo di lati a, b e c è data da $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\backslash sqrt\{p(\; p\; -\; a)(\; p\; -\; b)(\; p\; -\; c)\}$, dove p è il semiperimetro del triangolo, ossia ${\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}\mathrm{.}\backslash dfrac\{a\; +b\; +\; c\}\{2\}.$