Processi iterativi e ricorrenza
Apparso chiaramente in scritti di Pascal intorno a questioni aritmetiche e combinatorie (tra cui il triangolo di Pascal), il ragionamento per ricorrenza trova un posto naturale nello studio delle successioni, permettendo di formalizzare, generalizzare e poi migliorare metodi di risoluzione approssimata di equazioni note da secoli. Henri Poincaré dirà che è « il ragionamento matematico per eccellenza ». La ricorrenza permette costruzioni tra le più memorabili, dalla successione di Fibonacci all'algoritmo di Erone (per approssimare la radice quadrata di un numero positivo). Se l'iterazione di un processo di calcolo risponde a problematiche pratiche dall'antichità (spesso per migliorare la precisione di un risultato o risolvere in modo concreto un problema), iterare un ragionamento permette di accedere a considerazioni più teoriche.
Tutti gli articoli di questo dossier
Uno strumento potente per il ragionamento
Consentendo di trarre un’infinità di conclusioni con un’unica applicazione, il ragionamento per induzione è uno dei grandi successi della matematica. La costruzione di successioni definite per ricorrenza permette di modellizzare oggetti interessanti nelle applicazioni e di risolvere un’ampia gamma di problemi.
Le molteplici volti del ragionamento per induzione
Il ragionamento per induzione è uno strumento tanto classico quanto indispensabile, la cui formulazione si riassume facilmente.
Ricorrenze lineari ed epidemia di talento per la matematica
Le successioni ricorsive sono un argomento spesso proposto, in particolare nei giochi e nei problemi. È una buona occasione per parlare delle relazioni di ricorrenza lineari e affini a cui si fa regolarmente ricorso.
Blaise Pascal alla conquista dell’induzione
Se gli specialisti discutono ancora sulle origini del ragionamento per induzione, spesso concordano nel riconoscere nel Trattato sul triangolo aritmetico di Blaise Pascal la prima esplicitazione del metodo. Visita guidata a un monumento storico della dimostrazione.
L’algoritmo di Erone
Erone di Alessandria è noto per una celebre formula che consente di calcolare l’area di un triangolo senza conoscerne l’altezza. Gli si devono anche meccanismi estremamente sofisticati e un metodo ricorsivo straordinariamente efficace per approssimare la radice quadrata di un numero positivo.
Metodi iterativi per la risoluzione di equazioni
Le successioni, comprese quelle definite per ricorrenza, si incontrano in molti ambiti della matematica. È il caso dei metodi numerici per risolvere le equazioni, che sono appunto metodi iterativi: da qui la presenza delle successioni.