Quando si parla della «media» di due valori a e b, in genere tutti intendono la metà della somma di a e b. Questo approccio è certamente il più comune, ma non necessariamente il più appropriato. Prendiamo il caso di un prodotto il cui prezzo aumenta del 10% in un anno e del 50% in quello successivo. Facendo i conti in fretta, si potrebbe essere tentati di dire che l’aumento medio è del 30% all’anno. Tuttavia, due aumenti consecutivi del 30% equivalgono a moltiplicare per 1,32, ossia per 1,69. In altre parole, corrispondono a un aumento del 69%. Eppure, applicare consecutivamente gli aumenti del 10% e del 50% equivale a moltiplicare per 1,1 ×1,5 = 1,65, ossia a un aumento di «soli» 65%. L’«aumento medio» non è dunque del 30%. Come trovarlo, allora? Ebbene, passando per il coefficiente moltiplicativo k, che deve soddisfare k 2 = 1,65 e vale quindi circa 1,284: corrisponde infine a un aumento del 28,4%. Questo coefficiente k è la media geometrica di 1,1 e 1,5.
Piccoli disegni ------------------
Nel nostro esempio, la media aritmetica, cioè la media consueta, di 1,1 e 1,5 vale (1,1 + 1,5)/2 = 1,3 ed è quindi maggiore della media geometrica (circa 1,284). È sempre vero? Dati due numeri positivi x e y, si ha necessariamente xy≤x+y2 ?\sqrt{xy} \leq \dfrac{x+y}{2} \,?
La risposta è sì: per convincersene algebricamente basta elevare al quadrato entrambi i membri di questa disuguaglianza. Ma cosa c’è di meglio di un piccolo disegno per capirla? Tracciate un segmento di lunghezza x + y e costruite su di esso un semicerchio. Il raggio r di questo semicerchio è la media aritmetica di x e y. Dove si nasconde la media geometrica? È l’altezza h del triangolo rettangolo ABC. Infatti, l’immancabile teorema di Pitagora afferma che (*x 2 + *h 2 ) + (*y 2 + *h 2 ) = (x + y) 2.
Non resta che sviluppare e semplificare per ottenere h=xy.h= \sqrt{xy}.