Convessità e disuguaglianze

Cauchy e la disuguaglianza tra le medie ----------------------------------

Nella sua opera Analyse algébrique, pubblicata nel 1821, Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) enuncia il seguente teorema: «La media geometrica di più numeri A, B, C, D… è sempre inferiore alla loro media aritmetica.»

In altri termini, usando la sua notazione, si ha la relazione:

La sua dimostrazione è laboriosa e, alla base, questa proprietà discende dalla convessità della funzione $x\mapsto x^2\mathrm{.}x\; \backslash mapsto\; x^2.$

In un articolo pubblicato nel 1888, Leonard James Rogers (1862–1933) propose di dimostrare molte altre disuguaglianze «mediante una lieve estensione del noto teorema relativo alla disuguaglianza tra le medie geometrica e aritmetica di n numeri positivi». Il matematico britannico generalizzò così la disuguaglianza dimostrata da Cauchy alle medie ponderate. Più precisamente, dimostrò che, se a₁, a₂… *a_n e b*₁, b₂… *b_n* sono quantità positive, allora:

Ponendo tutti gli *a_i* uguali a 1, si ritrova proprio la disuguaglianza aritmetico-geometrica. Rogers si basò su questo risultato per dimostrare diverse disuguaglianze, comprese disuguaglianze relative agli integrali, mediante le somme di Riemann, nonché una disuguaglianza attribuita, assai ingiustamente, a Hölder.

Hölder a un passo dal traguardo ------------------

In una memoria pubblicata nel 1889, Otto Ludwig Hölder (1859–1937) si interessò a una funzione φ la cui derivata è strettamente crescente e dimostrò che la media aritmetica ponderata dei valori assunti da φ in punti qualsiasi è strettamente maggiore del valore assunto da questa funzione nel punto corrispondente alla media aritmetica ponderata dei punti considerati. Dopo aver letto tre volte questa frase, il lettore sarà convinto che si tratta della formula seguente:

Ponendo n = 2 e a₁ + a₂ = 1, si ritrova la definizione consueta di funzione convessa, con la sola differenza che Hölder lavora con disuguaglianze strette. Il matematico tedesco usò il teorema degli incrementi finiti per dimostrare la sua formula nel caso n = 2.

Il matematico tedesco dimostrò quindi alcune disuguaglianze usando la convessità della funzione esponenziale e la concavità della funzione logaritmo.

Finalmente una definizione! ----------------------

Il 17 gennaio 1905 potrebbe essere considerato la data di nascita della nozione di funzione convessa. Certo, prima di quella data alcuni avevano usato proprietà di funzioni convesse per dimostrare disuguaglianze, ma quel giorno il matematico danese Johan Jensen ne diede una prima definizione durante una conferenza tenuta presso la Società matematica danese.

Per lui, con le sue parole (scrive in francese), «quando una funzione φ, reale, finita e uniforme della variabile reale x soddisfa in un certo intervallo la disuguaglianza φ (x) + φ ( y) ≥ 2 φ((x + y)/2), si dice che φ è una funzione convessa in tale intervallo».

La definizione di Jensen è più generale di quella usata oggi, poiché corrisponde al caso α = 1/2 di quella comunemente utilizzata (vedi l’articolo «Funzioni utili in analisi»). In particolare, una funzione convessa nel senso di Jensen può non essere continua; usando l’assioma della scelta, il matematico tedesco Georg Karl Wilhelm Hamel (1877–1954) fornì un esempio di funzione g discontinua che soddisfa, per tutti i numeri reali x e y, g (x) + g (y) = g ((x + y*)/2), dunque convessa (e concava).

Poco dopo, nel 1920, Wacław Franciszek Sierpiński (1882–1969) dimostrò che una funzione convessa, misurabile nel senso di Lebesgue (categoria che comprende una classe «molto ampia» di funzioni), è necessariamente continua, salvo forse agli estremi dell’intervallo di definizione.

Osserviamo che Georg Hamel fu un convinto sostenitore del nazismo, ideologia spaventosa di cui furono vittime Sierpiński e molti suoi colleghi…