Nella geometria convessa si studia la forma degli insiemi soluzione nei problemi di ottimizzazione combinatoria, analisi, ricerca operativa… È una disciplina dalla lunga storia, che continua a essere scritta ancora oggi grazie ai folgoranti progressi dell’algoritmica, dell’ottimizzazione, dell’apprendimento automatico e dell’intelligenza artificiale.
Con un laccio o un elastico…
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Un insieme convesso del piano o dello spazio possiede una proprietà geometrica intuitiva: se due punti appartengono a , vi appartengono anche tutti i punti del segmento che li congiunge. Anche la nozione di inviluppo convesso è altrettanto accessibile: se è un insieme di punti del piano , si può immaginare il suo inviluppo convesso come la parte di delimitata da una sorta di «laccio» che racchiudesse . Se è per esempio la grafica della lettera maiuscola W, il laccio delimita allora il trapezio pieno nel quale si inserisce la lettera. Lo si vede immaginando un grande elastico lasciato andare «attorno» alla lettera W: la forma geometrica che assume l’elastico una volta lasciato andare è l’inviluppo convesso cercato. Più formalmente, l’inviluppo convesso di un sottoinsieme del piano o dello spazio è l’intersezione, necessariamente convessa, di tutti gli insiemi convessi che includono . È il più piccolo insieme convesso che contiene .
Per esempio, nel piano, se è l’unione di due rette parallele distinte, il suo inviluppo sarà la parte del piano compresa tra tali rette.
Analogamente, se è l’unione, nello spazio, di tre rette verticali non complanari (oppure di tre rette parallele non complanari), il suo inviluppo convesso è il prisma triangolare che ha tali rette come spigoli.
