Nella vita di tutti i giorni, le applicazioni del concetto di convessità sono molteplici. Una delle situazioni più elementari in cui questo concetto compare in economia è quella della teoria del consumatore. Nel nostro mondo è disponibile una grandissima quantità di beni e servizi. Talvolta è quindi difficile scegliere fra essi. Per ogni consumatore la scelta è diversa: dipende dai suoi desideri, dalle sue preferenze, che occorre determinare in modo più o meno razionale. Ma non entrano in gioco soltanto i desideri del consumatore. Le sue scelte di consumo saranno determinate anche da alcuni vincoli. Non tutti i prodotti sono disponibili a volontà e, soprattutto, ogni consumatore dispone necessariamente di un budget b limitato. A partire da queste osservazioni, è possibile elaborare un modello matematico del problema.
I «panieri» dei consumatori ---------------------------------
Supponiamo che sul mercato siano disponibili esattamente n beni e servizi. Ciascuno è disponibile in quantità limitata: ciò determina l’esistenza di un sottoinsieme X di ℝ*n, che rappresenta l’insieme dei «panieri» desiderati dai consumatori, ossia delle successioni x = (x*1, x2… *xn*), naturalmente nei limiti delle quantità disponibili di ciascun bene.
Questo insieme è naturalmente convesso. Infatti, per ogni coppia di panieri del consumatore che soddisfano i vincoli di disponibilità, ogni combinazione lineare pesata dei due panieri (con coefficienti positivi la cui somma è uguale a 1) sarà anch’essa compatibile: è proprio questa la definizione di convessità!
In un insieme convesso E, anche il baricentro di un numero qualsiasi di punti di E ai quali sono associati coefficienti positivi appartiene a E. Le coordinate di tale baricentro si ottengono effettuando una combinazione lineare «pesata» delle coordinate di questi punti (coordinate che sono elementi di ℝ*n*), ossia dividendo il risultato per la somma dei coefficienti, così da ottenere coefficienti con somma uguale a 1.