En la vida cotidiana, las aplicaciones de la noción de convexidad son múltiples. Una de las situaciones más elementales en las que aparece esta noción en economía es la teoría del consumidor. En nuestro mundo hay disponibles una enorme cantidad de bienes y servicios. Por eso, a veces resulta difícil elegir entre ellos. Cada consumidor elige de manera distinta: depende de sus deseos y sus preferencias, que es necesario determinar de forma más o menos racional. Pero los deseos del consumidor no son lo único que cuenta. Sus decisiones de consumo también estarán determinadas por ciertas restricciones. No todos los productos están disponibles sin límite y, sobre todo, cada consumidor dispone de un presupuesto b necesariamente limitado. A partir de estas observaciones, es posible construir un modelo matemático del problema.
Las «cestas» de los consumidores
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Supongamos que existen exactamente n bienes y servicios disponibles en el mercado. Cada uno está disponible en cantidad limitada, lo que determina la existencia de un subconjunto X de ℝ*n, que representa el conjunto de las «cestas» deseadas por los consumidores, representadas por vectores x = (x*1, x2… *xn*), naturalmente dentro del límite de las cantidades disponibles de cada bien.
Este conjunto es, naturalmente, convexo. En efecto, para cada par de cestas de consumo que satisfagan las restricciones de disponibilidad, cualquier combinación lineal ponderada —con coeficientes positivos cuya suma sea igual a 1— de ambas cestas también será compatible con ellas: ¡esa es precisamente la definición de convexidad!
En un conjunto convexo E, el baricentro de un número cualquiera de puntos de E ponderados con coeficientes positivos también pertenece a E. Las coordenadas de este baricentro se obtienen realizando una combinación lineal «ponderada» de las coordenadas de esos puntos —que son elementos de ℝ*n*—, es decir, dividiendo el resultado entre la suma de los coeficientes para obtener una suma de coeficientes igual a 1.
