Cuando se deja caer un objeto desde una gran altura, no solo cae, sino que lo hace cada vez más rápido (hasta cierto límite). En otras palabras, a nuestra escala, su velocidad es una función creciente del tiempo. Así pues, si representamos la distancia recorrida en función del tiempo, obtenemos una gráfica cuya pendiente aumenta constantemente, con la concavidad orientada hacia arriba. Este es el concepto que queremos generalizar y analizar matemáticamente.
Funciones que nos exasperan
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Se denomina convexa a toda función numérica definida en un intervalo cuyo ritmo de crecimiento es creciente en función de la variable. Si esta función es derivable, esto equivale a decir que su derivada es una función creciente; si es dos veces derivable, que su segunda derivada es positiva o nula en todo punto.
Una rápida mirada a su gráfica muestra que el segmento que une dos puntos cualesquiera de su representación gráfica queda por encima de la gráfica entre esos dos puntos. Otra caracterización para las funciones derivables es que la tangente en cualquier punto queda por debajo de su gráfica.
Se dice que una función f es cóncava si su opuesta, es decir, – f, es convexa. Para una función derivable, esto equivale a decir que su derivada es decreciente o, si es dos veces derivable, que su segunda derivada es negativa.
