«Contraejemplo». Este término a veces hace sonreír porque recuerda alguna función extravagante propuesta a los estudiantes para advertirles contra el uso abusivo de un teorema. A menudo no parece digno de interés porque no aborda el caso general; por eso suele quedar relegado al terreno de las distracciones. Sin restarle esa cualidad, el contraejemplo tiene una importancia fundamental en matemáticas.
Fatales para las conjeturas
---------------------
El contraejemplo no es la excepción que confirma la regla del «sentido común». Un teorema es válido en todos los casos en que se cumplen las hipótesis. La negación de un enunciado, es decir, la afirmación de que es falso, se demuestra mediante la existencia de un caso en el que se cumplen las hipótesis sin que se cumpla la conclusión. En el lenguaje de la lógica, esto se expresa diciendo que negar la proposición «para todo x, la proposición P(x) es verdadera» equivale exactamente a afirmar «existe un x tal que P(x) es falsa». Este x particular es el contraejemplo.
