«Controesempio.» Questo termine fa talvolta sorridere perché richiama qualche funzione stravagante proposta agli studenti per metterli in guardia dall’uso eccessivo di un teorema. Spesso non sembra degno d’interesse perché non riguarda il caso generale; per questo viene spesso relegato tra i divertimenti. Senza negargli quest’ultima qualità, la sua importanza è fondamentale in matematica.
Fatale per le congetture
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Il controesempio non è l’eccezione che conferma la regola del «buon senso comune». Un teorema vale in tutti i casi in cui le ipotesi sono soddisfatte. La negazione di un enunciato, ossia l’affermazione che esso è falso, è dimostrata dall’esistenza di un caso in cui le ipotesi sono soddisfatte senza che lo sia la conclusione. Nel linguaggio della logica, ciò si esprime dicendo che negare la proposizione «per ogni x, la proposizione P(x) è vera» equivale esattamente ad affermare «esiste un x tale che P(x) è falsa». Questo particolare x è il controesempio.
