Indispensables contre-exemples
De même qu'un petit dessin vaut mieux qu'un long discours, rien ne vaut, dans le domaine des mathématiques, un contre-exemple pour démentir une fausse intuition ou une conjecture erronée. Si elle est fascinante (ou parfois amusante) pour les passionnés, la recherche des contre-exemples n'est pas une simple distraction. Elle est fondamentale, tant dans le processus de raisonnement que comme outil pédagogique. Elle a émaillé le développement des mathématiques, permettant par exemple à la théorie des fonctions de prendre corps. Plus récemment, des programmes utilisant l'intelligence artificielle ont mis en évidence des contre-exemples sophistiqués, réfutant de nombreuses conjectures, en particulier en théorie des graphes.
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L’eccezione che non conferma la regola
Secondo una credenza ancora diffusa, il controesempio è soprattutto un passatempo. Eppure il suo ruolo è fondamentale in vari ambiti, sia come dimostrazione matematica sia come strumento didattico... senza dimenticare il suo lato divertente, o persino artistico, a seconda dello sguardo con cui lo si considera.
Dall’intuizione al rigore:
Da Cauchy a Weierstrass, il rigore si impose nell’analisi nel corso del XIX secolo. Credenze errate furono spazzate via da diversi controesempi, che imposero di definire meglio le varie nozioni. Furono introdotte alcune funzioni «mostruose», affascinanti per alcuni e ripugnanti per altri.
L’intelligenza artificiale in soccorso
L’uso di strumenti informatici per risolvere problemi matematici non è una novità. Adam Zsolt Wagner, dell’Università di Tel Aviv (Israele), ha appena mostrato come l’intelligenza artificiale permetta di trovare controesempi a diverse congetture rimaste finora aperte. Una promessa dal futuro radioso?
Il teorema di Schwarz
Da Eulero a Cauchy, passando per Clairaut, nessuno dubitava che l’inversione dell’ordine delle derivazioni parziali lasciasse invariato il risultato. Hermann Schwarz scosse questa convinzione con uno splendido controesempio.
Ipercubo: è caduta una congettura matematica | Tangente
La sfida: ricoprire insiemi di punti con il minor numero possibile di iperpiani, in particolare insiemi formati da alcuni vertici dell’ipercubo.