Ricoprire i vertici dell’ipercubo
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Ragionando sulle coordinate, la geometria piana (con ascissa e ordinata) e la geometria nello spazio (con ascissa, ordinata e quota) si generalizzano facilmente alla geometria in n dimensioni. In due dimensioni, i punti le cui coordinate sono soltanto 0 e 1 formano un quadrato. Nello spazio, i vertici, indicati con 000, 100, 110, 010, 001, 101, 111 e 011, formano un cubo. Nello spazio a n dimensioni si ottiene un ipercubo, che indicheremo con H*n. Si possono anche considerare gli iperpiani, che sono semplicemente gli insiemi di punti descritti da equazioni della forma a*1 x1 + a2 x2 + … +*an xn = b*.
Una volta definito il contesto, un piccolo gioco occupa i matematici da tempo: ricoprire insiemi di punti con il minor numero possibile di iperpiani, in particolare insiemi formati da alcuni vertici dell’ipercubo. Nel 1993, l’israeliano Noga Alon e l’ungherese Zoltán Füredi dimostrarono che per ricoprire tutti i vertici dell’ipercubo tranne l’origine (quello le cui coordinate sono tutte nulle, talvolta indicato con 0*n ) occorrono esattamente n iperpiani. Si possono infatti scegliere tutti gli iperpiani di equazione xi* = 1. La difficoltà sta nel capire perché non sia possibile farlo con meno iperpiani.
