Recubrir los vértices del hipercubo
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Cuando razonamos con coordenadas, la geometría plana (con abscisa y ordenada) y la geometría espacial (con abscisa, ordenada y cota) se generalizan fácilmente a la geometría de n dimensiones. En dos dimensiones, los puntos cuyas coordenadas solo toman los valores 0 y 1 forman un cuadrado. En el espacio, los vértices, denotados por 000, 100, 110, 010, 001, 101, 111 y 011, forman un cubo. En el espacio de n dimensiones se obtiene un hipercubo, que denotaremos H*n. También podemos considerar hiperplanos, que no son sino los conjuntos de puntos descritos por ecuaciones de la forma a*1 x1 + a2 x2 + … +*an xn = b*.
Una vez establecido el marco, un pequeño juego ocupa desde hace algún tiempo a los matemáticos: recubrir conjuntos de puntos con un número mínimo de hiperplanos y, en particular, conjuntos formados por determinados vértices del hipercubo. En 1993, el israelí Noga Alon y el húngaro Zoltán Füredi demostraron que recubrir todos los vértices del hipercubo salvo el origen —aquel cuyas coordenadas son todas nulas, a veces denotado 0*n — requiere exactamente n hiperplanos. En efecto, se pueden elegir todos los hiperplanos de ecuación xi* = 1. La dificultad consiste en comprender por qué no es posible hacerlo con menos hiperplanos.
