2 86 386 577 668 298 411 128 469 151 667 598 498 812 366. ¡Este es el mayor número de Dedekind conocido hasta la fecha! Y solo es el noveno (o el décimo, si se cuenta el de índice 0). Esta increíble sucesión, registrada con el número A000372 en la OEIS, la Enciclopedia en línea de sucesiones de enteros de Neil Sloane, trae de cabeza a todos los ordenadores desde hace más de un siglo. Sin embargo, esta sucesión numérica puede definirse desde varios puntos de vista y aparece en ámbitos que, a primera vista, parecen muy distintos.
El punto de vista inicial consiste en estudiar las funciones lógicas crecientes. Una función lógica recibe como entrada booleanos, es decir, variables que toman el valor «Verdadero» o «Falso», y devuelve un booleano.
¿Cómo definir aquí un sentido de variación? Pues bien, lo más sencillo es asignar el valor 0 a «Falso» y el valor 1 a «Verdadero». Nuestras funciones están, por tanto, definidas sobre n-tuplas de 0 y 1, y sus valores son 0 o 1. Tomemos dos n-tuplas, x = (x1, x2… *xn ) e y = (y*1, y2… *yn ) tales que x*1 ≤ y1, x2 ≤ y2… *xn ≤ yn. Diremos que la función lógica f es creciente si, en ese caso, f (x) ≤ f ( y), lo que recuerda la noción habitual de función creciente en análisis. Con un poco de atención, vemos que esto equivale a considerar una función definida sobre {0, 1} n *tal que, si uno de los booleanos de entrada pasa de «Falso» a «Verdadero», entonces el valor de la función no puede pasar de «Verdadero» a «Falso».
En 1897, el matemático alemán Richard Dedekind se preguntó cuántas funciones de este tipo existían para un número entero n dado. ¡Y enseguida se dio cuenta de que podía haber muchas! En efecto, hay que tener en cuenta 2*nn-tuplas. Definir una función lógica sobre este conjunto consiste en asignar el valor 0 o 1 a cada una de estas n-tuplas. Tenemos, por tanto, un total de funciones, entre las que buscamos las crecientes. Para n* = 5, ¡ya hay más de cuatro mil millones de casos que estudiar!
