Congruences

La idea de agrupar los enteros según el resto de su división por un número dado es antigua como la aritmética. Desde el « teorema de los restos chinos », heredado de la China antigua y estudiado hasta el siglo XIII, hasta el de Fermat, el dominio conocerá numerosos progresos, hasta la llegada de Gauss, que formalizará la noción de « congruencia » y firmará el acta de nacimiento de la aritmética modular. Esta nueva y potente visión de los números, que permite abarcar la infinidad de los enteros en un modelo finito, se aplica también a dominios concretos: la prueba del 9, los ciclos de los calendarios, los códigos de seguridad... También se encuentra en música y produce algunas bonitas curiosidades, como ciertos tours de magia.

Del mismo modo que un pequeño dibujo vale más que un largo discurso, nada vale, en el ámbito de las matemáticas, un contraejemplo para desmentir una falsa intuición o una conjetura errónea. Si es fascinante (o a veces divertida) para los apasionados, la búsqueda de contraejemplos no es una simple distracción. Es fundamental, tanto en el proceso de razonamiento como herramienta pedagógica. Ha salpicado el desarrollo de las matemáticas, permitiendo por ejemplo a la teoría de funciones tomar cuerpo. Más recientemente, programas utilizando la inteligencia artificial han puesto de manifiesto contraejemplos sofisticados, refutando numerosas conjeturas, en particular en teoría de grafos.