Las congruencias
La idea de agrupar los enteros según el resto de su división por un número dado es antigua como la aritmética. Desde el « teorema de los restos chinos », heredado de la China antigua y estudiado hasta el siglo XIII, hasta el de Fermat, el dominio conocerá numerosos progresos, hasta la llegada de Gauss, que formalizará la noción de « congruencia » y firmará el acta de nacimiento de la aritmética modular. Esta nueva y potente visión de los números, que permite abarcar la infinidad de los enteros en un modelo finito, se aplica también a dominios concretos: la prueba del 9, los ciclos de los calendarios, los códigos de seguridad... También se encuentra en música y produce algunas bonitas curiosidades, como ciertos tours de magia.
Todos los artículos de este dossier
Una historia de la aritmética modular
La idea de operar con los restos de la división de los números por determinados enteros, en lugar de hacerlo con los propios números, ha ido abriéndose camino con el paso del tiempo. Gauss la estructuró mediante sus «congruencias», que dieron origen a la aritmética modular actual. Las congruencias: ¡toda una historia!
La divisibilidad sin cálculos
No podemos olvidarlos: están grabados en nuestra memoria de escolares y estudiantes de bachillerato. Pero ¿estamos seguros? ¿Aún recordamos todos esos criterios de divisibilidad que nuestros profesores de matemáticas tanto nos repitieron?
Pequeño circuito incongruente en el mundo de las congruencias
Ya lo sabíamos en cocina: aprovechar las sobras es todo un arte. También ocurre así en matemáticas, gracias a un concepto de gran riqueza: la congruencia. Esta noción permite múltiples aplicaciones, desde la vida cotidiana hasta ámbitos muy teóricos.
El teorema chino del resto
La periodicidad de las revoluciones planetarias conduce naturalmente a la noción de congruencia. El testimonio escrito más antiguo de un problema sobre este tema se conoce como teorema chino del resto. Su universalidad está en el origen de numerosas y fundamentales aplicaciones en la teoría de números y de polinomios.
Magia de los números y trucos automáticos | Tangente
Las congruencias nunca revelan su poder de forma tan visual, impactante y espectacular como en el ámbito de los trucos de magia automáticos. Aunque estén «escondidas bajo la alfombra», ahí están, garantizando al mago el éxito. El público no puede sino maravillarse ante el efecto producido... y sospechar que la magia de los números está obrando.
Música y congruencias en Olivier Messiaen
Las matemáticas y la música estuvieron unidas durante siglos, antes de separarse poco a poco. Sin embargo, muchos compositores siguen ligados al lenguaje de los números. Es el caso, en particular, de Olivier Messiaen, en cuya construcción de los modos intervienen las congruencias.