Contraejemplos indispensables
Del mismo modo que un pequeño dibujo vale más que un largo discurso, nada vale, en el ámbito de las matemáticas, un contraejemplo para desmentir una falsa intuición o una conjetura errónea. Si es fascinante (o a veces divertida) para los apasionados, la búsqueda de contraejemplos no es una simple distracción. Es fundamental, tanto en el proceso de razonamiento como herramienta pedagógica. Ha salpicado el desarrollo de las matemáticas, permitiendo por ejemplo a la teoría de funciones tomar cuerpo. Más recientemente, programas utilizando la inteligencia artificial han puesto de manifiesto contraejemplos sofisticados, refutando numerosas conjeturas, en particular en teoría de grafos.
Todos los artículos de este dossier
La excepción que no confirma la regla
Según una creencia aún muy extendida, el contraejemplo es ante todo una diversión. Sin embargo, desempeña un papel fundamental en diversos ámbitos, tanto como demostración matemática como herramienta pedagógica... sin olvidar su vertiente recreativa, e incluso artística, según cómo se lo mire.
De la intuición al rigor:
De Cauchy a Weierstrass, el rigor se impuso en el análisis a lo largo de todo el siglo XIX. Diversos contraejemplos echaron por tierra creencias erróneas y obligaron a definir mejor los distintos conceptos. Se introdujeron ciertas funciones «monstruosas», fascinantes para unos y repugnantes para otros.
La inteligencia artificial al rescate
El uso de herramientas informáticas para resolver problemas matemáticos no es nuevo. Adam Zsolt Wagner, de la Universidad de Tel Aviv (Israel), acaba de mostrar cómo la inteligencia artificial permite encontrar contraejemplos a varias conjeturas hasta ahora abiertas. ¿Una promesa de futuro?
El teorema de Schwarz
De Euler a Cauchy, pasando por Clairaut, nadie dudaba de que intercambiar el orden de las derivadas parciales no alteraba el resultado. Hermann Schwarz sacudió esta creencia con un magnífico contraejemplo.
Hipercubo: cae una conjetura matemática | Tangente
El desafío: recubrir conjuntos de puntos con un número mínimo de hiperplanos y, en particular, conjuntos formados por determinados vértices del hipercubo.