La convergenza delle serie di Fourier era un importante ambito di ricerca negli anni 1860–70. Per una funzione periodica «sufficientemente regolare», il risultato non poneva alcun problema, ma talvolta compariva uno strano fenomeno: la serie poteva convergere in punti nei quali la funzione periodica non era nemmeno continua.
Antinomie negli ordinali --------------------------------
Il matematico tedesco Georg Cantor era ancora giovanissimo quando si dedicò a questo problema. Si interrogò sugli insiemi di discontinuità di tali funzioni, e ciò lo portò a sviluppare la teoria degli insiemi e, soprattutto, quella dei cardinali infiniti. Egli affermò allora che due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità (finita o meno) se si può stabilire una biiezione fra loro, cioè se a ogni elemento di A si può associare in modo univoco un elemento di B e, viceversa, ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A. Mostrò quindi che l’insieme dei numeri interi e quello dei numeri razionali hanno la stessa cardinalità, e che vi sono tanti punti su una retta quanti ve ne sono in un piano. Ma tutti i cardinali infiniti sono uguali? Cantor dimostrò di no in un articolo pubblicato nel 1874, nel quale provò che non esiste alcuna biiezione fra i numeri interi e i numeri reali. La sua dimostrazione è difficile e solo nel 1891 ne fornì una prova limpida e storica, nota come diagonale di Cantor (vedi Gli insiemi, Biblioteca Tangente 61, 2017). Nello stesso tempo, provò che esistono infiniti numeri trascendenti, ossia numeri che non sono soluzione di alcuna equazione polinomiale a coefficienti interi, mentre è noto con quali difficoltà Charles Hermite e Carl Lindemann avessero dimostrato la trascendenza di e e di π nel 1873 e nel 1882.
Cantor cerca di attribuire lo statuto di numero ai diversi cardinali infiniti, dando così vita agli ordinali. Desidera in particolare definire un ordine totale, come accade per i numeri interi (che corrispondono ai cardinali finiti). Ispirandosi a questi ultimi, afferma che l’ordinale dell’insieme A è minore (o uguale) di quello dell’insieme B se esiste un’iniezione da A in B; ciò generalizza quanto accade nel caso finito.
Per completare la sua teoria degli ordinali, Cantor ha bisogno di due risultati. Il primo afferma che, dati due insiemi A e B, o esiste un’iniezione da A in B, o ne esiste una da B in A, garantendo così che l’ordine sia totale. Il secondo, noto come teorema di Cantor-Bernstein, afferma che, dati due insiemi E e F, se esiste un’iniezione da E in F e una da F in E, allora i due insiemi sono in biiezione. Si possono dunque ordinare gli ordinali come si fa con i cardinali finiti.