Il paradosso di Richard ----------------------
Prendiamo le ventisei lettere dell’alfabeto e ordiniamo alfabeticamente tutte le disposizioni di una lettera, due lettere, tre lettere… Tutto ciò che può essere scritto compare nell’elenco così ottenuto. Eliminiamo da queste disposizioni tutte quelle che non sono definizioni di numeri (Jules Richard parla di numeri reali); indichiamo con u1 il primo numero dell’elenco, con u2 il secondo… Così tutti i numeri definibili mediante un numero finito di parole formano un insieme numerabile. Sia E l’insieme delle disposizioni così ottenute.
Richard affermò allora che si poteva formare un numero che non appartiene a questo insieme. Chiama G la seguente sequenza di lettere: «Sia p la n-esima cifra decimale del n-esimo numero dell’insieme E; formiamo un numero N con parte intera uguale a 0 e con n-esima cifra decimale pari a p+1 se p non è né 8 né 9, e pari a 1 in caso contrario.» Questo numero N non appartiene all’insieme E poiché, se fosse uguale, poniamo, a *un , la sua n*esima cifra sarebbe l’nesima cifra decimale di *un *, il che non è. Ora, N è definito dalle parole di G, cioè da un numero finito di parole; dovrebbe dunque appartenere all’insieme E!
Russell e lo sgomento di Frege ------------------------------------