Cauchy y la desigualdad de las medias ----------------------------------
En su obra Analyse algébrique, publicada en 1821, Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) enuncia el siguiente teorema: «La media geométrica de varios números A, B, C, D… siempre es menor que su media aritmética.»
En otras palabras, utilizando su notación, se cumple la relación:
ABCD…n≤A+B+C+D+…n\sqrt[n]{\text{ABCD} \ldots} \leq \dfrac{\text{A}+\text{B}+\text{C}+\text{D}+\ldots}{n}
Su demostración es laboriosa y, en el fondo, esta propiedad se deduce de la convexidad de la función x↦x2.x \mapsto x^2.
En un artículo publicado en 1888, Leonard James Rogers (1862–1933) propone demostrar muchas otras desigualdades «mediante una ligera extensión del conocido teorema sobre la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética de n números positivos». El matemático británico generaliza entonces la desigualdad demostrada por Cauchy a las medias ponderadas. Más precisamente, demuestra que si a1, a2… *an y b*1, b2… *bn* son números positivos, entonces:
(a1b1+a2b2+…+anbna1+a2+…+an)a1+a2+…+an>b1a1b2a2…bnan.\left( \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n}{a_1 + a_2 + \ldots + a_n} \right)^{a_1+a_2+\ldots+a_n} >b^{a_1}_1 b_2^{a_2} \ldots b_n^{a_n}.
Si todos los *ai* son iguales a 1, se obtiene de nuevo la desigualdad aritmético-geométrica. Rogers se apoya en este resultado para demostrar distintas desigualdades, incluidas algunas sobre integrales mediante las sumas de Riemann, pero también una desigualdad atribuida, muy injustamente, a Hölder.
Hölder, cerca del objetivo ------------------
En una memoria publicada en 1889, Otto Ludwig Hölder (1859–1937) estudia una función φ cuya derivada es estrictamente creciente y demuestra que la media aritmética ponderada de los valores que toma φ en puntos cualesquiera es estrictamente mayor que el valor que toma esta función en el punto correspondiente a la media aritmética ponderada de los puntos considerados. Tras leer tres veces esta frase, el lector quedará convencido de que se trata de la fórmula siguiente:
a1φ(x1)+a2φ(x2)+…+anφ(xn)a1+a2+…+an>φ(a1x1+a2x2+…+anxna1+a2+…+an).\dfrac{a_1\varphi (x_1) + a_2 \varphi (x_2) + \ldots + a_n \varphi (x_n)}{a_1+a_2+ \ldots +a_n} > \varphi \left( \dfrac{a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n}{a_1 + a_2 + \ldots + a_n} \right).
Si se toma n = 2 y a1 + a2 = 1, se obtiene la definición habitual de una función convexa, con la salvedad de que Hölder trabaja con desigualdades estrictas. El matemático alemán utiliza el teorema del valor medio para demostrar su fórmula para n = 2.
El matemático alemán demuestra entonces algunas desigualdades utilizando la convexidad de la función exponencial y la concavidad de la función logaritmo.
¡Por fin, una definición! ----------------------
El 17 de enero de 1905 podría considerarse la fecha de nacimiento de la noción de función convexa. Ciertamente, antes de esa fecha algunos habían utilizado propiedades de funciones convexas para demostrar desigualdades, pero aquel día el matemático danés Johan Jensen dio una primera definición durante una conferencia pronunciada ante la Sociedad Matemática Danesa.
Para él, en sus propias palabras (escribe en francés), «cuando una función φ, real, finita y uniformemente continua de la variable real x satisface en un determinado intervalo la desigualdad φ (x) + φ ( y) ≥ 2 φ((x + y)/2), se dice que φ es una función convexa en este intervalo».
La definición de Jensen es más general que la utilizada hoy en día, puesto que corresponde al caso α = 1/2 de la empleada clásicamente (véase el artículo «Funciones útiles en análisis»). En particular, una función convexa en el sentido de Jensen puede no ser continua; utilizando el axioma de elección, el matemático alemán Georg Karl Wilhelm Hamel (1877–1954) dio un ejemplo de función g discontinua que satisface, para todos los números reales x e y, g (x) + g (y) = g ((x + y*)/2), y, por tanto, es convexa (y cóncava).
Poco después, en 1920, Wacław Franciszek Sierpiński (1882–1969) demostró que una función convexa, medible en el sentido de Lebesgue (una categoría que engloba una clase «muy amplia» de funciones), es necesariamente continua salvo quizá en los extremos del intervalo de definición.
Señalemos que Georg Hamel fue un ferviente partidario del nazismo, una ideología atroz de la que fueron víctimas Sierpiński y muchos de sus colegas…