La geometría convexa estudia la forma de los conjuntos de soluciones de problemas de optimización combinatoria, análisis e investigación operativa… Es una disciplina con una larga historia, que sigue escribiéndose hoy gracias a los vertiginosos avances actuales de la algoritmia, la optimización, el aprendizaje automático o la inteligencia artificial.
Con un lazo o una goma elástica…
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Un conjunto convexo del plano o del espacio posee una propiedad geométrica intuitiva: si dos puntos pertenecen a , todos los puntos del segmento que los une también pertenecen a él. La noción de envolvente convexa es igual de accesible: si es un conjunto de puntos del plano , podemos ver su envolvente convexa como la parte de delimitada por una especie de «lazo» que encerrase . Si es, por ejemplo, la forma de la letra mayúscula W, el lazo delimita entonces el trapecio en el que se inscribe la letra. Se aprecia al imaginar una gran goma elástica que soltáramos «alrededor» de la letra W: la forma geométrica que adopta la goma una vez soltada es la envolvente convexa buscada. Más formalmente, la envolvente convexa de un subconjunto del plano o del espacio es la intersección —necesariamente convexa— de todos los conjuntos convexos que contienen . Es el conjunto convexo mínimo que contiene .
Por ejemplo, en el plano, si es la unión de dos rectas paralelas distintas, su envolvente será la parte del plano comprendida entre ambas rectas.
Del mismo modo, si es la unión, en el espacio, de tres rectas verticales no coplanarias (o de tres rectas paralelas no coplanarias), su envolvente convexa es el prisma triangular que tiene esas rectas como aristas.
