Si, tras trazar varias de sus tangentes, borramos una curva plana, el ojo adivina pese a todo la forma de la curva original como envolvente del conjunto de esas rectas. Nuestro cerebro ha resuelto de hecho, de forma aproximada, un problema de geometría diferencial que consiste, en el caso general, en determinar la curva, llamada envolvente, tangente a una familia uniparamétrica de curvas, de parámetro λ y ecuación f (x, y, λ) = 0. Analíticamente, se trata de resolver el sistema:
en el que la segunda ecuación caracteriza el punto de tangencia. En el caso de una familia de rectas, el punto variable de la envolvente aparece entonces como la intersección de dos rectas. Para las cónicas, estudiadas profusamente desde Apolonio, la construcción de una tangente es sencilla, lo que permite realizarla mediante plegado.
Cónicas rodeadas
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Las cónicas, curvas planas definidas analíticamente por una ecuación de segundo grado, son geométricamente las secciones de una superficie de revolución generada por una recta. Si esta recta pasa por el eje de revolución, obtenemos un cono cuyas secciones, según la orientación del plano, producen una elipse, una parábola o una hipérbola. Si la recta está fuera del eje y es paralela al eje de rotación, obtenemos un cilindro, que solo puede proporcionar elipses —entre ellas, las circunferencias—. En caso contrario, obtenemos un hiperboloide de revolución de una hoja, con forma de diábolo. En los casos degenerados, obtenemos una recta, dos rectas o un punto (véase Tangente SUP 75, 2014).
Por lo general, una cónica posee dos focos. En la circunferencia, coinciden y, en la parábola, uno de ellos se pierde en el infinito. Denotamos por 2c la distancia entre los focos y por 2a la distancia entre los puntos de la cónica situados sobre el eje de los focos. El parámetro característico de las cónicas es la excentricidad e = c / a. Para una elipse, 0 < e < 1. Para una hipérbola, e > 1. Para una circunferencia, e = 0 y, para la improbable parábola, e = 1. Veamos ahora una construcción general de las cónicas que permite definir la tangente en cualquier punto.
