Cuando se habla de «la» media de dos valores a y b, por lo general todo el mundo entiende que se hace referencia a la mitad de la suma de a y b. Sin duda, este enfoque es el más habitual, pero no necesariamente el más adecuado. Tomemos el caso de un producto cuyo precio aumenta un 10 % un año y un 50 % al siguiente. Si hacemos las cuentas deprisa, podríamos sentir la tentación de decir que el aumento medio es del 30 % anual. Sin embargo, encadenar dos aumentos del 30 % equivale a multiplicar por 1,32, es decir, por 1,69. Dicho de otro modo, corresponde a un aumento del 69 %. Y, sin embargo, encadenar los aumentos del 10 % y del 50 % equivale a multiplicar por 1,1 ×1,5 = 1,65, lo que corresponde a un aumento de «solo» el 65 %. Por tanto, el «aumento medio» no es igual al 30 %. ¿Cómo encontrarlo entonces? Pues mediante el coeficiente multiplicador k, que debe verificar k 2 = 1,65 y que vale, por tanto, aproximadamente 1,284; esto corresponde finalmente a un aumento del 28,4 %. Este coeficiente k es la media geométrica de 1,1 y 1,5.
Pequeños dibujos ------------------
En nuestro ejemplo, la media aritmética, es decir, la media habitual, de 1,1 y 1,5 vale (1,1 + 1,5)/2 = 1,3 y es, por tanto, mayor que la media geométrica (aproximadamente 1,284). ¿Es esto siempre cierto? Si tomamos dos números positivos x e y, ¿se cumple necesariamente xy≤x+y2 ?\sqrt{xy} \leq \dfrac{x+y}{2} \,?
La respuesta es sí, y basta elevar al cuadrado ambos miembros de esta desigualdad para convencerse de ello algebraicamente. Pero ¿qué mejor que un pequeño dibujo para comprenderlo? Trace un segmento de longitud x + y y construya una semicircunferencia sobre ese segmento. El radio r de esta semicircunferencia es la media aritmética de x e y. ¿Dónde se esconde la media geométrica? Es la altura h del triángulo rectángulo ABC. En efecto, el conocido teorema de Pitágoras indica que (*x 2 + *h 2 ) + (*y 2 + *h 2 ) = (x + y) 2.
Solo queda desarrollar y simplificar para obtener h=xy.h= \sqrt{xy}.