El matemático ruso Pafnouti Tchebychev destaca tanto por la calidad como por la diversidad de sus descubrimientos. Sus investigaciones en teoría de números dieron lugar a numerosos resultados en los que intervienen desigualdades notables. Una de ellas, conocida como «desigualdad de Tchebychev» (que no debe confundirse con la de Bienaymé‒Tchebychev, véase el artículo «En probabilidades: la desigualdad de Bienaymé-Tchebychev»), es bastante sencilla de demostrar. Su interés es grande: esta desigualdad interviene en demostraciones muchísimo más técnicas, en particular en la teoría de los números primos.
La desigualdad de Tchebychev
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Consideremos dos sucesiones de números reales, ambas crecientes o ambas decrecientes, con exactamente el mismo número de términos, n. Denotemos por a1, a2, a3… *an y b*1, b2, b3… *bn a estas dos sucesiones. Veamos, por ejemplo, el caso de las sucesiones decrecientes; el razonamiento es el mismo para las crecientes. Por hipótesis, se tiene ai ≥ ai *+1 y *bi ≥ bi *+1 para todo número entero i comprendido entre 1 y n ‒ 1.
Veamos qué se puede afirmar, para cualesquiera i y j comprendidos entre 1 y n, acerca del producto (*ai ‒ aj)×(bi ‒ bj). Para empezar, sabemos que ambos factores tienen el mismo signo. En efecto, como la sucesión es decreciente, si i es menor que j, ambos serán positivos; serán negativos si i es mayor que j. Por tanto, su producto es no negativo (y puede ser nulo, en particular si i = j). Así pues, se tiene ai bi ‒ ai bj ‒ aj bi + aj bj* ≥ 0.
Sumemos primero todos estos términos respecto del índice i.
