Le mathématicien russe Pafnouti Tchebychev se signale à la fois par la qualité et par la diversité de ses découvertes. Ses recherches en théorie des nombres ont abouti à quantité de résultats faisant intervenir des inégalités remarquables. L’une d’elles, connue sous l’appellation « inégalité de Tchebychev » (à ne pas confondre avec celle de Bienaymé‒Tchebychev, voir article « En probabilités : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev » ) , est assez simple à établir. Son intérêt est grand : cette inégalité intervient dans le cadre de démonstrations atrocement plus techniques, notamment dans la théorie des nombres premiers.
L’inégalité de Tchebychev
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Considérons deux suites de nombres réels, toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, et comportant exactement le même nombre de termes, soit n. On note a1, a2, a3… *an et b*1, b2, b3… *bn ces deux suites. Traitons par exemple du cas des suites décroissantes ; le raisonnement est le même pour les suites croissantes. Par hypothèse, on a ai ≥ ai *+1 et *bi ≥ bi *+1 quel que soit l’entier i compris entre 1 et n ‒ 1.
Voyons (quels que soient i et j compris entre 1 et n) ce que l’on peut affirmer quant au produit (*ai ‒ aj)×(bi ‒ bj). Déjà, on sait que les deux facteurs sont de même signe. En effet, la suite étant décroissante, si i est inférieur à j, ils seront tous deux positifs ; ils seront négatifs si i est supérieur à j. Leur produit est donc positif (éventuellement nul, notamment si i = j). On a donc ai bi ‒ ai bj ‒ aj bi + aj bj* ≥ 0.
Sommons tout d’abord tous ces termes sur l’indice i.
