Les inégalités

Comparer des quantités est une activité des plus naturelles : qui possède le moins d’objets, ou le plus grand champ ? Avant de connaître toutes les ficelles mathématiques qui permettent d’augmenter la superficie de son terrain ou un préceux capital, il est utile de revenir aux origines géométriques de la question, afin de bien visualiser les quantités en jeu. L’inégalité du triangle et l’astuce de Didon nous étonnent encore aujourd’hui par leur fécondité.

Améliorer, gagner un peu par-ci, éviter de perdre trop par-là, optimiser… tout cela est du ressort de l’analyse ! Si l’intuition géométrique nous sert à comparer, c’est bien l’analyse mathématique qui va nous permettre de quantifier les variations et ainsi de majorer ou de minorer de nombreuses expressions. Parmi les vedettes du domaine, on trouve l’inégalité arithmético-géométrique, bien connue des lycéens, et celle de Cauchy‒Schwarz, plus avancée mais d’une puissance redoutable.

Dans nombre de domaines mathématiques, les inégalités jouent un rôle important. C’est le cas par exemple en probabilités, avec l’inégalité de Bienaymé‒Tchebychev, ou de tout ce qui relève de l’optimisation. Beaucoup de phénomènes physiques se modélisent eux aussi par des inégalités ; la thermodynamique nous en donne un exemple saisissant. En sciences économiques et sociales, l’étude des inégalités est un sujet central, qu’elles concernent la richesse, le travail, le logement, l’éducation…