Cinq variantes de l'inégalité de Cauchy-Schwarz | Tangente

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L’inégalité de Cauchy-Schwarz découle du fait que, dans un plan euclidien (c’est-à-dire muni d’un produit scalaire), l’égalité $\mathrm{\mid }(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\mathrm{\mid }\le \mathrm{\parallel }\overrightarrow{u}\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }\overrightarrow{v}\mathrm{\parallel }|\backslash left(\backslash overrightarrow\{u\},\; \backslash overrightarrow\{v\}\backslash right)|\; \backslash leq\; \backslash Vert\backslash overrightarrow\{u\}\backslash Vert\; \backslash Vert\backslash overrightarrow\{v\}\backslash Vert$ est valable pour tout couple de vecteurs non nuls. Cette inégalité exprime le fait que la valeur absolue d’un cosinus est inférieure ou égale à 1. On peut cependant démontrer l’inégalité pour n = 2 par un calcul simple, ou par un raisonnement géométrique.

Inégalité géométrique : l’aire d’un parallélogramme est inférieure à celle d’un rectangle ayant des côtés de même longueur.

Inégalité arithmétique ou de Cauchy pour des n-uplets : soient ( a₁, a₂, a₃… a_n ) et ( b₁, b₂, b₃… b_n ) deux n-uplets de réels positifs.

On a alors :