Lorsque l’on parle de « la » moyenne de deux valeurs a et b, tout le monde comprend en général qu’il est fait référence à la moitié de la somme de a et b. Cette approche est certes la plus courante, mais pas forcément la plus appropriée. Prenons le cas d’un produit dont le prix augmente de 10 % une année et de 50 % la suivante. En allant vite en besogne, on pourrait être tenté de dire que la hausse moyenne est de 30 % par an. Cependant, enchaîner deux hausses de 30 % revient à multiplier par 1,32, soit 1,69. Autrement dit, cela correspond à une hausse de 69 %. Et pourtant, enchaîner les hausses de 10 % et 50 % revient à multiplier par 1,1 ×1,5 = 1,65, ce qui correspond à une hausse de « seulement » 65 %. La « hausse moyenne » n’est donc pas égale à 30 %. Comment la trouver alors ? Eh bien, en passant par le coefficient multiplicateur k qui doit vérifier k 2 = 1,65 et vaut donc environ 1,284, ce qui correspond finalement à une hausse de 28,4 %. Ce coefficient k est la moyenne géométrique de 1,1 et 1,5.
Des petits dessins ------------------
Dans notre exemple, la moyenne arithmétique, c’est-à-dire la moyenne usuelle, de 1,1 et 1,5 vaut (1,1 + 1,5)/2 = 1,3 et est donc supérieure à la moyenne géométrique (environ 1,284). Cela est-il toujours vrai ? Si on se donne deux nombres positifs x et y, a-t-on obligatoirement xy≤x+y2 ?\sqrt{xy} \leq \dfrac{x+y}{2} \,?
La réponse est oui, et il suffit de mettre au carré les deux membres de cette inégalité pour s’en convaincre algébriquement. Mais quoi de mieux qu’un petit dessin pour comprendre ? Tracez un segment de longueur x + y et construisez un demi-cercle sur ce segment. Le rayon r de ce demi-cercle est la moyenne arithmétique de x et y. Où se cache la moyenne géométrique ? Il s’agit de la hauteur h du triangle rectangle ABC. En effet, l’incontournable théorème de Pythagore indique que (*x 2 + *h 2 ) + (*y 2 + *h 2 ) = (x + y) 2.
Il ne reste plus qu’à développer et simplifier pour obtenir h=xy.h= \sqrt{xy}.