Voici une situation mathématique bien courante : soit f une fonction continue et monotone (c’est-à-dire croissante ou décroissante) définie entre deux réels a et b, telle que f (a) et f (b) soient de signe contraire. Comme f est continue, elle croise mécaniquement l’axe des abscisses (c’est le théorème des valeurs intermédiaires). Comme en outre elle est monotone (ici, croissante), il n’y a qu’une seule solution à l’équation f (x) = 0. On l’appelle racine de l’équation et on la note α.
Dans certains cas, par exemple si f (x) est un trinôme, c’est-à-dire un polynôme du second degré, il existe des formules, bien connues des lycéens, pour donner la valeur de α. Mais, en général, pour une expression f (x) quelconque, il n’existe pas de méthode exacte pour trouver cette valeur. Par contre, il existe des méthodes itératives pour trouver une valeur approchée de α. Voyons les plus connues.
En divisant l’intervalle ------------------------
La première méthode s’appelle méthode par dichotomie. Derrière ce mot un peu savant se cache l’idée, toute simple, que l’on va partager l’intervalle [a, b] en deux morceaux de même longueur et regarder dans quel morceau se trouve la racine α. Ce nouvel intervalle sera de longueur moitié par rapport à l’intervalle initial et contiendra α. En répétant suffisamment ce processus, on aura une valeur approchée de α avec la précision voulue car, à chaque étape, la longueur de l’intervalle est divisée par 2. En fait, on aura deux valeurs approchées, une par défaut (plus petite) et une par excès (plus grande).