L'algorithme de Héron

L’extraction de racines n’est sûrement pas une partie de plaisir lorsqu’elle est pratiquée par un dentiste, mais est une opération bien plus simple à mener qu’il n’y paraît en mathématiques. Si l’on souhaite par exemple calculer à la main la racine carrée de 31, on peut procéder en tâtonnant : comme 31 est compris entre 5² = 25 et 6² = 36, on en déduit que $\sqrt{31}\backslash sqrt\{31\}$ est compris entre 5 et 6. Puis on poursuit ainsi pour essayer de déterminer la première décimale (31 est compris entre 5,5² et 6², puis entre 5,5² et 5,75², puis…), la deuxième, et ainsi de suite. Les calculs, nombreux, deviennent de plus en plus fastidieux, mais on peut gagner une décimale en quelques étapes.

Une autre méthode permet d’obtenir un meilleur résultat en beaucoup moins de calcul.

Héron ne manque pas d’aire --------------------------

On sait assez peu de choses à propos de Héron d’Alexandrie, si ce n’est qu’il a vécu au I^er siècle de notre ère et peut-être un peu au début du II^e. Originaire d’Alexandrie, il aurait vécu principalement en Égypte romaine (voir notre dossier « La formule de Héron » dans Tangente 180, 2018). À son époque, il semble connu pour la conception de machines destinées à susciter l’émerveillement en actionnant des systèmes d’horlogerie ou des ouvertures automatiques de portes de temples. Ces constructions astucieuses, qui ne seront perfectionnées que bien des siècles après sa mort, s’appuyaient sur des mécanismes de compression de l’air ou de l’eau et on en trouve la présentation dans son Traité des pneumatiques. Ses écrits ayant été traduits en latin, puis en arabe et soumis à des commentaires et compléments divers avant d’être redécouverts à la fin du XIX^e siècle, il est difficile de suivre la paternité exacte de certains éléments.

Cependant, comme tout bon géomètre grec qui se respecte, Héron d’Alexandrie est aussi l’auteur de traités de physique et de mathématiques, et notamment des Métriques. C’est là qu’il expose et démontre son fameux résultat sur l’aire des triangles, que l’on résume aujourd’hui par une simple formule. L’aire d’un triangle de côtés a, b et c est donnée par $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\backslash sqrt\{p(\; p\; -\; a)(\; p\; -\; b)(\; p\; -\; c)\}$ où p est le demi-périmètre du triangle, c’est-à-dire ${\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}\mathrm{.}\backslash dfrac\{a\; +b\; +\; c\}\{2\}.$