Il y a plus d’un point commun entre les notions de récursivité et de récurrence. Il y a d’abord une origine linguistique commune. Le terme « récurrent » provient en ligne directe du latin recurrere qui signifie « revenir en courant », « revenir en arrière ». Historiquement, le raisonnement par récurrence remonte à Pascal (voir article Blaise Pascal à l'assaut de la récurrence), et peut-être même au mathématicien italien Francisco Maurolico (1495–1575) qui, dans son Arithmeticorum libre, énonce et applique le principe d’induction mathématique. Mais, c’est Poincaré qui en fut le promoteur dans les temps modernes, n’hésitant pas à considérer le raisonnement par récurrence comme « le raisonnement mathématique par excellence ».
La boucle est bouclée
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Au sens courant (dictionnaire Hachette), la récurrence est le caractère de ce qui se répète. Le terme « récursivité » dérive de l’adjectif « récursif », qui est une translation linguistique de l’anglais recursive, lui-même construit sur le verbe latin recurrere. Pour les linguistes, le terme de récursivité relève de toute démarche pouvant être répétée un nombre infini de fois (dictionnaire Hachette). Il est surtout utilisé en informatique mais on le retrouve aussi en art, en biologie, en linguistique.
Si le terme « récurrence » se retrouve plutôt en mathématiques, les mathématiciens ne se privent cependant pas de raisonnements de type récursif. La construction de l’ensemble des entiers naturels par le mathématicien et linguiste (ce n’est pas un hasard) Giuseppe Peano en est un bel exemple, puisque se construit à partir de 0 au moyen de la relation « successeur ». Pour Peano, zéro existe et est un entier, et si p est un entier quelconque, alors le successeur de p est aussi un entier. On retrouve bien là une démarche rappelant la définition courante du terme.
Enfin, le mathématicien américain Stephen Cole Kleene (1909–1994) a donné un sens aux ensembles définis récursivement en s’appuyant sur le principe des suites récurrentes. La boucle est donc bouclée.
