suite de Héron

Imaginez un rectangle d’aire 2, long de 2 et large de 1. Sa longueur et sa largeur encadrent la forme carrée recherchée. En remplaçant la longueur par la moyenne des deux côtés, on obtient 1,5. Le côté associé, qui conserve l’aire 2, vaut alors 2 ÷ 1,5, soit environ 1,333.

Répéter ce rééquilibrage rend les côtés presque égaux. Leur valeur commune se rapproche de √2 : les nombres successifs forment la suite de Héron.

Soit un nombre réel A strictement positif. On choisit un premier terme x₀ strictement positif, puis la suite de Héron est définie par la relation suivante :

Ici, l’indice n compte les itérations. Chaque terme reste strictement positif et la suite converge vers la racine carrée positive √A. L’algorithme est aussi appelé méthode de Babylone. Il s’agit de la méthode de Newton appliquée à la fonction qui associe à x le nombre x² − A. En posant e_n = x_n − √A, on obtient exactement e_n+1 = e_n²/(2x_n). Près de √A, cette relation donne une convergence quadratique et le nombre de décimales exactes tend alors, localement, à doubler d’une étape à la suivante. Le même principe se généralise à l’approximation d’une racine n-ième.

La construction repose sur quatre éléments. Le nombre positif A fixe à la fois l’aire conservée et la racine cherchée. Le terme initial x₀, non nul et positif, lance le calcul. À l’étape n, le terme x_n forme avec A/x_n les deux côtés d’un rectangle d’aire A. Leur moyenne devient le terme suivant x_n+1, tandis que A/x_n+1 rétablit l’autre côté sans changer l’aire.

Pour A = 2 et x₀ = 2, ces rectangles deviennent de moins en moins allongés. La figure rend visible l’aire constante et le rapprochement des deux côtés vers √2 ; la couleur et l’échelle du dessin ne définissent pas la suite.

On cherche une approximation de √2. Les données sont A = 2 et le terme initial x₀ = 2. Ce choix correspond au côté long du rectangle initial 2 × 1. Les fractions exactes sont conservées pendant le calcul afin de ne pas accumuler des arrondis.

1. On moyenne 2 et 2/2 : x₁ = (2 + 1)/2 = 1,5.
2. On moyenne 1,5 et 2/1,5 : x₂ = (1,5 + 4/3)/2 = 17/12 ≈ 1,416666667.
3. On recommence avec 17/12 : x₃ = 577/408 ≈ 1,414215686.
4. Une nouvelle itération donne x₄ = 665857/470832 ≈ 1,414213562.

Ainsi, √2 ≈ 1,414213562 à neuf décimales. Dès la troisième itération, les cinq premiers chiffres décimaux affichés sont déjà ceux du résultat final. Un contrôle refaisable consiste à élever l’approximation obtenue au carré : 1,414213562² ≈ 1,999999999, très proche de 2. L’écart résiduel vient ici de l’arrondi à neuf décimales, et non d’une égalité exacte.

À la main, la suite fournit rapidement plusieurs décimales d’une racine carrée. On choisit une valeur positive proche de la racine attendue, puis on répète la moyenne. Une table de carrés suffit plutôt lorsque la valeur exacte recherchée y figure déjà.

Dans un tableur ou un programme, chaque ligne réutilise le résultat précédent. On fixe une tolérance ε et on arrête les itérations lorsque |x_n+1 − x_n| ≤ ε. Si une garantie sur la précision est nécessaire, on complète ce test par un contrôle du résidu |x_n² − A| avec une tolérance adaptée. Une fonction de racine carrée intégrée reste préférable si le but est seulement d’obtenir le résultat, sans étudier l’algorithme.

Pour résoudre une équation plus générale que x² = A, la méthode de Newton est l’alternative naturelle. La suite de Héron correspond précisément au cas où la fonction étudiée est x² − A.

La suite de Héron et la fonction racine carrée. La fonction associe directement √A au nombre A ; la suite produit des approximations successives à partir d’un terme initial. Pour A = 2, √2 est la limite, tandis que 2, 1,5 et 17/12 sont des termes de la suite.

La suite de Héron et la méthode de Newton en général. La première applique la seconde à l’équation x² − A = 0. Si l’équation n’a pas cette forme, la formule d’itération de Newton dépend de la fonction et de sa dérivée ; la moyenne de x_n et A/x_n ne s’applique plus telle quelle.

Terme initial nul. Si x₀ = 0, le quotient A/x₀ n’est pas défini. Pour approcher la racine carrée d’un nombre strictement positif, il faut choisir x₀ > 0.

Nombre nul. Pour A = 0 et x₀ non nul, la relation devient x_n+1 = x_n/2. La suite tend bien vers 0, mais le doublement approximatif des décimales ne décrit plus cette convergence.

Nombre négatif dans les réels. Si A < 0, √A n’est pas un nombre réel. La version réelle de la suite ne fournit donc pas la racine annoncée ; il faut changer de cadre numérique.

Arrondi trop précoce. Arrondir fortement chaque terme peut figer ou dégrader l’approximation. Il faut conserver davantage de chiffres pendant les itérations, puis arrondir seulement le résultat final à la précision voulue.

La fonction racine carrée replace la limite √A dans son domaine et ses variations.

La méthode de Newton montre le cadre plus général dont l’itération de Héron est un cas particulier.